Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Перепечатана в книге : W. R. Н a m i 1-t о п, Math. Pap., т. 2,
Cambridge, 1940, стр. 162-212.
[9e] Lagrange, Mimoire sur la th6orie g6n6rale de la variation des
constantes arbitrages, Oeuvres, т. VI, Paris, 1873, стр. 771-809.
P о i s s о n, Sur la variation des constantes arbitraires dans les
questions de m6canique, Journ. de l'Ecole Polytechn., т. VIII, 1809, стр.
266.
[97] Краткое изложение этой теории см. на стр. 763 настоящей книги.
["] Еще в 1809 г. Пуассон ввел функцию JE qi pi -Т, рассматриваемую как
функция qi и pt, и вывел половину гамильтоновых1 уравнений.
Лагранж в 1809 г., рассматривая варьирование элементов орбит, установил
систему уравнений в гамильтоновой форме, в которые вместо функции Н
входила пертурбационная функция R.
Во втором издании "Аналитической механики" Лагранж приводит следующие
уравнения :
йщ _ 9R dst _ ЭR
ИГ 9sT' Ht ~bai '
дТ
где щ - начальные значения координат, s,- - начальные значения - = р,.
uCfi
Это - простейший пример системы канонических элементов*).
Возьмем консервативную механическую систему, имеющую л степеней
свободы и
находящуюся в постоянном и консервативном поле сил. Ее движение
может быть выра-
жено дифференциальными уравнениями различной формы. Среди них уравнения,
введенные Гамильтоном, имеют прежде всего преимущество симметрии. В
гамильтоновом методе состояние механической системы с л степенями свободы
определяется л координатами qi, которые фиксируют конфигурацию системы и
л соответствующих импульсов Pi. Координаты qt могут быть выбраны
различными способами, в частном случае это могут быть декартовы
координаты х, у, z, цилиндрические или сферические координаты. Во всех
случаях всякое изменение qt вызывает изменение pi.
В консервативном поле имеем Т = U + const в течение действительного
движения. Т определяется л значениями qi и п значениями р,, a U - только
п значениями qu Отсюда видно, что полнаяэнергия системы будет выражаться
некоторой комбинацией из п координат qi и п импульсов ри Такое выражение
полной энергии называется гамильтоновой функцией и обозначается Н (qt,
pi). Построение гамильтоновой функции для данной механической системы не
вызывает затруднений. Точный вид этой функции зависит, однако, от
особенностей как рассматриваемой механической системы, так и поля, в
котором она движется, а следовательно, и от выбора п координат qt.
Удачный выбор qi может сильно облегчить решение задачи; особенно просто
решается динамическая проблема, если можно выбрать п координат qi так,
что Я будет функцией только р,.
Для консервативной системы с п степенями свободы движение выражается 2п
дифференциальными уравнениями первого порядка простого вида :
9 Я . 9 Я
qi = r^' <32)
Уравнения Гамильтона пишутся в такой форме только для консервативных
систем и в таком виде они неприменимы в случае полей, не имеющих
потенциала, и в случае неголономных связей.
Интересно отметить, что Гамильтон не дал каноническим уравнениям какого-
либо применения и был более заинтересован в сведении всей своей работы к
рассмотрению одной функции и к выполнению приближений с ее помощью.
*) При изучении канонических систем обычно прибегают к геометрическому
представлению, в котором 2л канонических переменных р н q рассматриваются
как координата линейного пространства 2л измерений. Это пространство,
следуя Гиббсу, называют фазовым.
В этом пространстве всякое решение р = р (t), q- q(t) канонической
системы изображается интегральной кривой.
896
ПРИМЕЧАНИЯ
Он, однако, сразу заметил, что общий метод, развитый им в динамике, может
быть .значительно расширен.
И
о
[Ю1] s = V - Ht, Q - - S + (rjm - ер). Ср. также R о u t h, Advanced Ri
gid Dynamics, 1905, n. 487.
t
[i°2] Теперь более принято писать S = J cd - Hj dt, и мы имеем по
аналогии
to
{ 9Я0 " ) " ЭН0 .
= ~[2р~др~~ V я°-
с (29) и (30)
_^L ( - дН° гг) , " 9Н
~dt^~~dt^+ ~ "~8i" ~dt0 И Следовательно, два уравнения в частных
производных будут:
8S , ( dS дS дS . ) .
dS ( dS dS QS , ) .
H{ де,' Эе,ЭвзП-ei-e2, ••¦,езп,^о)-0,
9 к
о
если даже Н не является постоянной. Легко видеть, что эти уравнения
эквивалентны (С), когда Н является постоянной. Якоби (Crelle, т. XXVII,
стр. 97-162) показал, что уравнения (С) сохраняют свою силу, когда U явно
содержит t; там также даны и соответствующие уравнения для функции V.
[Юз] под F' | ^ j подразумевается частная производная F по .
[104] Задача состоит в том, чтобы выразить S2 в терминах ц и е или SS2
через V, дщ е, де.
[105] От уравнения (47) берется частная производная по ек, причем
величины rj сохраняются постоянными.
3~I I
[Юв] Легко показать, что в (64) и (65) коэффициенты ¦ ^ ^ ¦ и
равны нулю.
Кроме того, если мы поменяем местами индексы в коэффициенте ^1- , этот
член
взаимно уничтожится с соответствующим членом (65).
[Ю7] Отсюда следует, что в невозмущенном движении а являются постоянными,
в чем и состоит теорема Пуассона.
ров] это легче всего можно увидеть из следующего. Если бы aI>s,
