Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
постоянная вдоль каждой из рассматриваемых кривых.. Если мы напишем
t t
то получим:
НО
ву!
^ V' = 2T = T + U + H,
и следовательно,
Отсюда мы находим, что
о
Это (исходя из принципа наименьшего действия) ведет к уравнениям (Z), из
которых: непосредственно следует уравнение (Q).
[76] J' -|^- 8г]- v (r)T de = dV- tdH.
dtj' де'
[7?] Если v - скорость центра тяжести, то
(*ц - апУ + (Уп - М2 + (ги - cn)2 = "2 fi = 2 Hu f2/^ m.
[78] Термин "центробарический" был впервые введен Мёбиусом.
[79] Если V, выражена как функция f, tj, С, а, /?, у, то
8x,i dii ( i), дХп ^ dS .
[во] Относительная конфигурация 2(л-1) начальных и конечных положений
планет определяется 6л- 12 взаимными расстояниями, и, кроме того, мы
имеем три координаты любой из планет относительно Солнца.
ПРИМЕЧАНИЯ
893
[81] Уравнение (S3) легко сводится к хорошо известной форме теоремы
Ламберта. •См. Уиттекер, Аналитическая динамика.
[83] Этот специальный случай теоремы Ламберта был дан Эйлером в 1742 г.
Miscell. Berolin, т. VII.
[83] Это представляет собой соотношение, связывающее расстояния пяти
точек в пространстве. Оно может быть написано более симметрично в форме
детерминанта :
I81] 2.
тп
тг + тп т"
2, тг Т'-р + 2 JT, Тр =
0 1 1 1 1 1
1 0 S* d5 dz Sx
1 S2 0 Ss dx
1 d5 ^3 0 s, s5
1 ^2 S3 0 d4
1 Sx dx S5 0
, m (f2 + Г)2 + c2) =
2 У m T,
тп
1_
тп
¦},
= itстг) Т'+ 2 т' ~ it m ,Пк к*' ~~ ^)2 + •••]¦
[85] Уравнения (V5), (X6) получаются путем приравнивания нулю частных
производных V по произвольным постоянным h{i), g!i). Относительно этого
метода получения характеристической функции см. прим. 129, стр. 899.
[86] Из (X1), стр. 198, мы имеем:
и отсюда
Si
JT, m$'= -
1 SV, mi df,-
m"
. *v,
m" df
Следовательно, выражение (69) для T, дает:
т =->- v 1 мм8 + 2 ^ ' mt { df,- J +
и т.д.
[87] T,i образуется из (D6) путем замены V, на V,v Для бинарной системы,
состоящей из точек т/, т", имеем:
2 ТР
mi m" mi + mn
QVf
(Si2 + 4f* + Si2), vp
mi
mn
mt m"
¦SI,
9f mi + m" dSi Из уравнения (X1), стр. 198, имеем, следовательно :
2 ТР
i + mn U ЭУ,4)у ( ЭУ/'у ( 9V">y| _
\{ dSi ) + I % ) + { dSi ) / '
Ш+(^М^П-з--'"+з*-
mi mn mi m"
mt + mn
894
ПРИМЕЧАНИЯ
где
Т,г =
пцт"
1 v mi + т"
mi + Шп )_ ^/()
\( 0V"/>V , ( dV<PY , ( 0V</>V1 ,
mtrnn [I dh J +l dm j + l ЭС/ J J +
, i ^ (bvf dvY , bv\ dV?> , dv< > 0r("
+ Г§1Г --Z7- +
m" ~' \ 01; dSk ^ Ъщ Щк 0fi 0Cfc J
1 " m,- mn f ( 0и/'> \2 Г dw(i} \2 f 0iv(i> V)
2 mi + mn Ц 01; J + l dm ) +{ 0C; J J +
v _________mi ink ( 0w(<) 0и/*> 0w(i) 0w(t) 0iv(i> 0iv(t)
I
Шп ~' (mn + mi) (m" + mk) \ 0?,- dY + dm Щк 0?; dCk J ~
= mn У, mif > + H, + ... , T, = ^ mt mkf'1' + H, и т. д_
[ев] Интегрируя по частям.
[39] Иначе мы получили бы одно или более уравнений, связывающих начальные
и конечные точки. Конечно, когда мы подставляем точные значения, то it,
т, Ci обозначают фактические координаты в момент времени t.
[90] Мы имеем = С но wik) зависит от начальных и конечных координат, а
также-
от ga>.Таким образом, отсюда следует - t)8 <5g№ + <5, -^щ- = dt; (L7)
следует непосред-
ственно отсюда же и затем получаем (К7) путем суммирования. Уравнение
(М7) получается путем нахождения частной производной (В7) по gw.
pi] Чтобы получить (N7), рассмотрим V,г =2, т/ тк W(iik>, где 1Т(!-к)
задано посредством (Т9).
1 dv,"
Три группы членов получаются из выражения ^ :
ТПк
1) Из интегрированной части lV(i| к) получаем -5----------------. Это
слагаемое пренебре-
Шп oak
жимо мало по сравнению с первым членом в А а- уравнения (J7).
2) Из (К7), где t явно встречается на верхней границе интеграла, получаем
:
Л
да,
(02W(O у1 ( <52w(i) \ ' СЛ]-1 St ' [S^wY1
г-ш,Ы ЬгеНяИтИ " ж-'й-я\ж) ¦
Поскольку At = - , мы видим по (М7), что зта группа членов
уничтожается членами,
включающими At.
3) Из остальных членов, которые встречаются в (О7).
Is2] _0щ = _ 08iv(i) = dpi _0о[ = _ 081У(<)
= dyf
dpi dai dpi dai ' dyi dyi dai dai
[93] Если мы задаем вариации Aai, Api, Ayt,, то, поскольку
dpi да) <S2lV(i)
dai dpi dai dpi '
новые вариации a], pl, у\ будут иметь вид
, . da) dal . " daI , dal . " dvi .
jo( + _ja< + ^_jA+__jyi, или Aoi + ^-APi + ^-Ayi,
где Adi и т.д. представляют собой значения, данные в(07). Давая значения
Aai, Api, Ayt в (Т7), мы получаем значения Aal в той же группе уравнений.
Сравнение методов Лагранжа, Пуассона и Гамильтона в теории возмущений см.
Lovett, Quarterly journal of Mathematics, т. XXX (1899), стр. 47-149.
[94] На этой стадии Гамильтон заметил неудобство появления Я в
характеристической, функции ; поэтому он преобразовал эту функцию в
другую, которая в качестве переменной содержала t вместо Я.
Преобразование, которое необходимо произвести, очевидно и"
ПРИМЕЧАНИЯ
895-
следующего уравнения:
<5 V = Л т(х'дх - а' да + у' ду - Ь' дь + г' дг - с' дс) + t дн,
следовательно, <5 {V - Ht) = ? т (х' dx - a' da + ...) - Hdt.
[96] Статья "Second Essay on a General Method in Dynamics" была
опубликована в. "Phil. Trans. Roy. Soc.", ч. 1, 1835, стр. 95-144.
