Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
устранены, то ость если точка т будет двигаться свободно и лишь под
воздействием внешних сил X, Y, Z, то тогда координаты ко времени t + dt
будут :
откуда "принуждение" будет:
При естественном движении ускорения приводят принуждение Z к минимуму,
так что при обозначении через 62 вариации, изменяющей лишь ускорения х
(но не х и х), получим условие
(Это условие, как известно, не достаточно для наличия минимума; однако,
что касается механики, то оно необходимо и достаточно для естественного
движения, когда не даны никакие уравнения условий.) Шеринг (Abh. d. Kgk
Gesellsch. der Wiss. zu GOttingen, Math. Klasse, т. XVIII, 1873, стр. 3-
54) утверждает, что по принципу Гаусса как dx, так и dfix должны
определяться так, чтобы Z было минимумом. Однако Липшиц (Journ. fur.
Math., т. LXXXII, 1877, стр. 316 и далее, особенно стр. 321) показал, что
здесь имеется ошибка и что слова Гаусса "свободное движение", вопреки
мнению Шеринга, не могут быть истолкованы как совершенно произвольное
свободное движение. Липшиц принимает, что уравнения условий
зависят только от координат и не зависят ни от времени, ни от скоростей.
Он формулирует принцип при следующих двух предпосылках.
A. Компоненты скоростей выбираются так, что они удовлетворяют Ф, = 0.
B. Эти компоненты противоречат уравнениям условий. Липшиц находит, что
только первая предпосылка ведет к правильным уравнениям условий:
По принципу Гаусса, следовательно, варьируются только ускорения, но не
ско-
^ (X/ дХг ¦; V" г д у г 4~ Zr dZf) ~ 0 .
x + xdt 4- у х dfi, у 4- у dt 4- - у dfi, z + zdt 4- dfi .
V = [-S' mr (i? - xf) +...]= 0.
ФУ = const (y = 1,2, ...)
рости, т. e.
d2t - S2xr - S2xr - 0'
однако дхг не равно нулю.
888
ПРИМЕЧАНИЯ
После того как мы уже видели, что "свободное движение" у Гаусса означает
не совершенно произвольное свободное движение, а лишь воображаемое
движение, которое могло бы совершаться, если бы в естественном движении
ко времени t связи были внезапно устранены, а силы X , Yr, Zr сохранены,
мы можем исследовать, как должна быть выражена вариация Гаусса
аналитически.
Пусть х., yr, zr будут координатами точек тг во время t. Во время t + dt
при действительном движении координаты точек тг будут:
хг + xrdt + y Xrdt2 . (1)
В ближайший момент t + dt + d(t + dt) - t + 2 dt, поскольку dt постоянно,
координаты будут:
xr+2krdt + 2xdP+ .......
Если бы, наоборот, точки тг во время t были свободны, то координаты во
время t + dt были бы :
хг + хг dt -(- " dt2, ..., ...
2 mr
следовательно, они совпадали бы с координатами (1) до бесконечно малой
второго порядка, а координаты во время t + 2 dt имели бы вид:
хг + 2х, dt + -- dt3.
1П г
Минимум принуждения, следовательно, нужно понимать так: пусть положения
всех точек к заданному времени t и t + dt одинаковы; отсюда, если имеются
налицо только внешние силы X, Y, Z (а не связи), можно вычислить
положение, которое точки будут иметь ко времени t + 2 dt. Допустим, точка
т, была бы ко времени t + 2 dt в точке Ег. Пусть теперь всем точкам ко
времени t + 2 dt придано некоторое другое, связанное с условиями,
положение, при этом тг будет находиться в некоторой точке Fr; из всех
этих положений ко времени t + 2 dt под совместным воздействием внешних
сил и связей системы действительно осуществляются те, для которых
2тг (ЕгРгУ = ~2-^[{тхг-ХгГ+ ...1
есть минимум, так как dt можно рассматривать как заданную постоянную.
Отсюда мы видим, что в вариационном процессе Гаусса ни координаты, ни их
производные не варьируются.
Если вместе с Гиббсом (On the Fundamental Formulae of Dynamics, Amer.
Journ. of Math., т. II, 1879, стр. 49-64, ср. также JI. Больцман,
Vorlesungen fiber die Prin-zipe der Mechanik, ч. 1, стр. 209-212)
представить себе вариацию, обозначенную через д2, для которой
<52 Хг - <52 Хг = 0, ... , и если уравнения связей имеют форму
<Pi(t,x1,y1,z1, ...)= О, (2)
то, дифференцируя (2) по t, получим:
-?W(?*+-)-0'
# (?* + -)-•¦
при этом Ф содержит только время, координаты и их первые производные.
Отсюда вытекает :
^[~ё~д^г+ •••) = 0>
так что д2ХГ удовлетворяют тем же самым условиям, что и 6хг,... в
предложенной Лагранжем форме принципа Д'Аламбера. А именно, поскольку
перемещения должны
ПРИМЕЧАНИЯ
889
иметь место при St = 0 (ср. Ф. Э. Б. Ж у р д е н, Bibl. Math. ,3 Folge,
т. VI, 1906, стр. 352-353), имеем :
-(-&¦>"+-)=°-
Таким образом, можно вместо уравнения Д'Аламбера
2 [(Хг - тгхг) Sxr + ... ] = О (А)
Г
написать
[(Хг-тгхг)д2хг+ ...] = 0 (В)
Г
в качестве основного уравнения механики, то это уравнение может быть
выражено через
S2Z = 0, где Z есть принуждение. Иными словами, первая вариация Z
при переходе от
действительного движения к движению, варьируемому "по способу Гаусса"
(Больцман, указ. соч., стр. 210) и обозначенному через <52, исчезает;
действительно Z для таких вариаций будет минимумом.
Далее легко заметить, что ничто не препятствует тому, чтобы уравнения
связей были линейными дифференциальными уравнениями (возможно, не
