Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
кроме естественного, является вынужденным. Процесс варьирования <5 здесь
совершенно другой, и поскольку энергия как для каждого отдельного
движения, так и для любого движения постоянна
(ft = const), то мы имеем как = 0, так и Sh = 0 .
Замечание Рауса (цит. соч., стр. 303), что дх - xdt есть возможное
перемещение, использовано А. Фоссом и независимо от Рауса и Фосса Рети
(М. R е t h у, Uber das Prinzip der Aktion und fiber die Klasse
mechanischer Prinzipien, denen es angehfirt, Math. Ann., т. VIII, 1904,
стр. 109-194) для другого случая, а именно, когда условные уравнения не
являются явно независимыми от времени.
В самом деле,
х = ч>(Ч1,Яг, ¦¦¦ ,qn,t),
где qv - обобщенные координаты, и поскольку t должно варьироваться,
<">¦
д х St есть, следовательно, возможное перемещение. Но и в том случае,
когда
мы вместо этого Sqv в уравнении (б) воспользуемся другими вариациями qv,
то есть dqv - ljrdt, то
J57 (Sq" ~л qv St) = дх - х St
также есть возможное перемещение х. Об употреблении первой формы (у
Гёльдера и Журдена) и о близких исследованиях Рети ем. Math. Ann., т. XV,
1908, стр. 513-527.
[48] 22-я лекция Лагранжа из "Lemons sut le calcul des fonctions", Париж,
1806, стр.
441-501 озаглавлена: "M6thode des variations dSduite de la consideration
des fonctions".
Рассматриваемые вопросы изложены на стр. 451-452, 457-460. В самом деле,
если принять, что Т есть функция I и j, которые, однако, не содержат явно
t*), и если <3 есть вариация, при которой варьируются | и t, то
Sd(Tdt) = T*+^№-kdt)+Sdt[^-±-^)(de-sdt),
что и доказывает это утверждение.
[49] Это опять неточно. Поскольку Т не содержит явно время, то
686
ПРИМЕЧАНИЯ
Но нельзя предположить, что
.....
если t варьируется. Эта ошибка встречается у Бертрана в прим. VI в его
издании "Аналитической механики", см. "Oeuvre de Lagrange", т. XI, стр.
468-484. На стр. 482 он пользуется уравнением
с , ddq dq -
поскольку
dt
di5f ddt
of = -n f -
так что
dt dt ' .
я" , ЭT dbf " QT ddt ,
dr = -0fJ? + lrT-flrT+'"
I
S*Tdt = ^L(ds-s'do+ ... +тл + 5л ...j.
Таким образом, когда
T + X(T + V - H) = W,
SSWdt^WSt+^f {dS-$'dt) + Sdt (d$-$'dt)+ ...J ,
TO
О = W dt + (A+1) + ...) - 2 (Л+1) т dt + f dt {- A (d f- ('dt) +...},
йоскольку
Э^ = й+1 )-!?- и i'^L + <P'^L+...=2T.
di' ~ ' 1 ' 8S' s 8f' ' r Эу'
А так как <5f, •.. на границах равны нулю, то, положив часть, стоящую не
под знаком интеграла, также равной нулю, получим:
{W - 2(Л + 1)Г}<5г = 0.
Поскольку dt не равно нулю на границах, то X нужно определять так, чтобы,
когда Т + V - Н, выполнялось
X(V-H)-(X + 1)Г = 0,
то есть, как заключает Родригес, X =--------. Тогда часть,
находящаяся под знаком
интеграла, дает уравнения движения Лагранжа.
¦ о я dW d dW
Заметим, что в обозначении Родригеса -^-----------= а .
6f at 6f
[*°] Заметка Гаусса "liber ein neues allgemeines Grundgesetz der
Mechanik" напечатана в 4-м томе "Crelle Journal filr die reine
Mathematik" за 1829 г. и перепечатана в Gauss's Werke, т. 5, стр. 23.
Нами использован русский перевод, помещенный в приложении ко 2-му тому
(Аналитической механики" Лагранжа.
[613 Это замечание относится к соч. Лапласа в Мёт. de l'lnstitut, 1809.
[623 Уже в 1798 г. Фурье ("Мёт. sur la Statique", Journ. de l'Ecole
Polytechn., cah. V, 1798, стр. 20; Oeuvres, т. II, стр. 475-521, особенно
стр. 488) рассматривал случай, когда условия выражены неравенствами.
Условия, выражаемые равенствами, отвечают требованию, чтобы наряду с
каждым возможным перемещением допускалось также и противоположное, и
принцип возможных перемещений гласит, что когда перемещения должны
удовлетворять s условным уравнениям
2 (fг, I dxr + Tjr, i dyr + Cr, l dzr) = 0 (I = 1, 2, . .. , S) ,
ПРИМЕЧАНИЯ
887
то для равновесия необходимо и достаточно, чтобы
^ (Хг <5Хг 4" У г <Ъ'г 4" Хг 6Zr) = 0 .
г
Но когда не все перемещения обратимы, например, когда два тела, связанных
друг с другом нитью, приближаются друг к другу, но из-за длины нити не
могут удалиться друг от друга или когда тело может скользить или катиться
по поверхности другого тела, но не может ни удалиться от этой
поверхности, ни проникнуть в нее, в этих случаях сумма виртуальных работ
может без нарушения равновесия быть равной нулю или отрицательному числу,
и тогда необходимым и достаточным условием равновесия будет:
Это предложение независимо друг от друга сформулировали Фурье, Гаусс и
Остроградский (Ostrogradsky, Consid6rations g6n6rales sur les moments des
forces, чит. 7 ноября 1834 г., Мёт. de Г Acad. de St.-Petersb., 6, Sc.
Math, et Phys. т. 1, Sc. Math., Phys. etNaturelle, т. Ill, 1838, стр.
129-150). Ср. также L. В oltzmann, Vorlesungen fiber die Prinzipe der
Mechanik, ч. 1, Лейпциг, 1897, стр. 115-122, 143-144.
[63] Аналитическое выражение принципа Гаусса. Если обозначить координаты
точки массы т ко времени t через (х, у, г), то по разложении в ряд
Тейлора они ко времени t + dt будут :
Но если ко времени t связи, наложенные на систему, внезапно будут
