Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 423

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 417 418 419 420 421 422 < 423 > 424 425 426 427 428 429 .. 461 >> Следующая

непосредственно ясно из рассмотрения канонических уравнений, которые
показывают
876
Л. С. ПОЛАК
также, что если траектория известна, то время определяется квадратурой.
Принцип наименьшего действия предполагает, что система имеет несколько
степеней свободы, так как если бы имелась только одна степень свободы, то
для определения движения было бы достаточно одного уравнения. Так как в
этом случае движение может быть полностью определено законом живых сил,
то действительное движение будет единственным, которое ему удовлетворяет,
и поэтому не может быть сравниваемо с каким-либо другим движением.
17. Как известно, преобразование Лежандра переводит функцию данной
группы переменных в новую функцию новой группы переменных. Старые и новые
переменные относятся друг к другу, как точечное преобразование. Это
преобразование обладает тем замечательным свойством, что оно совершенно
симметрично в обеих системах, и то же преобразование, которое переводит
старую систему в новую, переводит и, обратно, новую систему в старую.
Лежандрово преобразование может быть приложено к лагранжиану,
рассматриваемому как функция переменных преобразования qu а также
координат положения <?,- и времени t. При этом скорости преобразуются в
импульсы, а лагранжиан - в гамильтониан. Преобразование Лежандра при
приложении его к уравнениям Лагранжа отделяет дифференцирование по
времени от алгебраического процесса и приводит к каноническим уравнениям.
В самом деле, определив обобщенный импульс р, через лагранжиан
Pi - > (а>
запишем уравнения Лагранжа в форме
9 L ?"ч
P' = ~W' <ь)
С помощью преобразования Лежандра определение (а) перейдет в
* = <С>
причем ни (а), ни (с) не выражают какого-либо физического закона, а
являются определением обобщенного импульса через скорости и скорости
через импульсы.
Так как
L = 2 Pi<h - н.
то уравнение (Ь) перейдет в
9 н /а\
Р' ~ э?Г ' (d)
Полученные, таким образом, канонические уравнения (с) и (d) совершенно
эквивалентны исходным уравнениям Лагранжа ; перед последними они имеют то
преимущество, что производные по t находятся только в левой стороне
уравнений, так как гамильтониан не содержит каких-либо производных от
<7,- и pi по t.
Наиболее эффективный метод исследования и решения канонических уравнений
движения есть преобразование координат, то есть переход к новой системе
координат, которая лучше позволяет провести решение, чем первоначальная.
Гамильтонова функция есть инвариант по отношению к точечным
преобразованиям вида
Яп = /л (Ql > • • • 1 Qn) !
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
877
если новая система координат покоится относительно прежней. В противном
случае в гамильтониане появляются циклические координаты -
жироскопические члены. Эти точечные преобразования являются подгруппой
группы преобразований С. Ли, которые в случае классической механики
характеризуются требованием, чтобы
функция S называется производящей функцией канонического преобра'
зования. Так как
Это - общее условие канонического преобразования, причем любая функция qt
и Qi может быть выбрана как производящая функция канонического
преобразования. В добавление к этой функции могут быть заданы некоторые
условия между qt и Qt (число условий может изменяться от 1 до л). Формулы
канонического преобразования имеют ту особенность, что они не выражают
это преобразование в явном виде. Вместо определения новых переменных
только через старые, или наоборот, обычно применяется смешанное
представление, в котором старые обобщенные импульсы выражаются через
старые и новые координаты положения. Как известно, если ввести риманово
мероопределение, то гамильтонова характеристическая функция в оптике и
основная функция в динамике определяют "расстояние" в римано-вом
пространстве, выраженное в функции координат конечных точек этого
расстояния. Эта функция, которая тесно связана с вариационным интегралом,
является производящей функцией некоторого частного канонического
преобразования.
Для классической механики основной группой преобразований являются
канонические преобразования. Группу преобразований можно определить либо
посредством бесконечно малых преобразований, либо посредством инвариантов
этой группы. Первый способ, в котором задаются бесконечно малые изменения
канонических переменных qh pt при бесконечно малом каноническом
преобразовании, выражен уравнениями Гамильтона, второй-инвариантностью
действия.
Необходимо отличать два вида канонических преобразований. В первом мы
переходим от одних переменных к другим для одного и того же состояния
системы, во втором же изучаем законы изменения канонических переменных,
которые выражают законы изменения состояний механической системы.
Таким образом, естественно формулируется связь между аналитической
механикой вариационных принципов и теорией групп преобразования. Эта
связь допускает дальнейшее обобщение.
18. Благодаря рассмотренным свойствам методы Лагранжа и Гамильтона
приобрели значение в физике. Это значение еще более увеличивается, если
Предыдущая << 1 .. 417 418 419 420 421 422 < 423 > 424 425 426 427 428 429 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed