Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Лагранжа от О до А, предположив в точке О действие равным нулю, мы
найдем, что действие частицы в точке А равно этому интегралу.
Следовательно, частица на каждом участке своей траектории связана с
некоторым значением действия и действие возрастает по мере того, как
частица описывает траекторию. Очевидно, что мы можем определить действие
в любой точке траектории независимо от того, находится там на самом деле
частица или нет.
Рассмотрим теперь поток частиц. Предположим, как выше, действие равным
нулю во всех точках поверхности Г, из которых вылетают частицы. В точке А
любой траектории действие имеет некоторое значение. Соединив все точки с
одинаковым действием, получим непрерывные поверхности - поверхности
равного действия. Уравнения динамики показывают, что эти поверхности
пересекаются всеми траекториями под прямым углом. Так как взятая нами
точка А есть произвольная точка траектории, то можно заключить, что
поверхности равного действия образуют простое бесконечное семейство и что
траектории ортогональны к этим поверхностям.
Одной из этих поверхностей будет поверхность 2, на которой действие равно
нулю, а на всех остальных оно возрастает вдоль траектории. Надо заметить,
чтобы избежать возможного недоразумения, что частицы, вышедшие с
поверхности 2 одновременно, достигают какой-либо заданной поверхности
действия отнюдь не в одно и то же время.
Если взять гамильтоново действие, то поверхности равного действия в
консервативном поле для частицы, движущейся из точки О в точку А, мы
получим, определив значение интеграла от T-\-U (= Т - V) по времени
движения между этими точками ; допустив, что на поверхности 2 гамиль-
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
875
тоново действие равно нулю, мы получим, таким образом, его значение в
точке А.
Предположим далее, что частица покидает точку О в момент времени t = 0.
В таком случае, если обозначить лагранжево действие в точке А через V, то
гамильтоново действие для той же точки будет:
S = V - tH, (98)
где Н - полная энергия, с которой частица движется, a t - время движения
частицы от О до А. Из (98) видно, что так как на поверхности 21, как было
уже предположено, V = 0, то S на той же поверхности будет равно нулю в
начальный момент времени t = 0.
Таким образом, гамильтоново действие связано с движущейся частицей, или,
иначе говоря, оно имеет значение только в точках, через которые проходит
частица. Однако гамильтоново действие имеет и более общий характер и
может быть определено для каждой точки траектории и в каждый момент
времени. Пусть в момент времени t частица проходит через точку А, тогда
(98) определит гамильтоново действие частицы в этой точке. Однако и после
того, как частица пройдет А (или раньше, чем она достигнет точки А),
формула (98) определяет гамильтоново действие в этой точке для каждого
момента времени t. Из формулы (98) видно, что с течением времени
гамильтоново действие в точке А убывает по величине, а в данный момент
времени оно возрастает вдоль траектории.
Возьмем на различных траекториях те точки, для которых гамильтоново
действие в момент времени t имеет то же значение S, как в точке А. Тогда
(98) показывает, что для всех этих точек лагранжево действие будет
одинаково : S -f tH. Следовательно, точки равных значений гамильтонова
действия в данный момент времени будут покрывать поверхность равного
лагранжева действия. Это имеет место для всех моментов времени и для всех
точек на траектории.
Таким образом, поверхности равного гамильтонова действия S совпадают во
всякий момент времени с поверхностями равного лагранжева действия V.
Однако между этими поверхностями существует одно существенное и важное
различие. Поверхность равного лагранжева действия есть фиксированная
поверхность, которая не меняет своего положения с течением времени. Что
же касается поверхности равного гамильтонова действия, то она не остается
фиксированной, так как мы видели, что величина гамильтонова действия в
какой-либо фиксированной точке меняется с течением времени.
Легко показать, исходя из (98), как поверхность равного гамильтонова
действия должна двигаться для того, чтобы оставаться связанной с одним и
тем же фиксированным значением действия. Поверхность эта должна двигаться
нормально к траекториям со скоростью, определенной в каждой точке и
равной Н/р, где р - величина импульса частицы в рассматриваемой точке.
Эта скорость совпадает с той, которую де Бройль ввел для волновой
скорости своих волн и, следовательно, для скорости их волновых фронтов, а
так как волны де Бройля также перпендикулярны к их траекториям, то отсюда
вытекает, что его волновые фронты движутся вдоль поверхностей равного
гамильтонова действия.
16. Заметим, что из выражения, найденного Якоби для принципа
наименьшего действия, видно, что если силовая функция и связи не зависят
от времени, то и определение траектории выполняется независимо от
времени, что не представляется очевидным в уравнениях Лагранжа, но
