Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
наименьшего действия.
Сделаем несколько дополнительных замечаний.
Из выражения, найденного Якоби для принципа наименьшего действия, видно,
что если силовая функция и связи не зависят от времени, то и траектория
определяется независимо от времени, что не очевидно в уравнениях
Лагранжа, но ясно видно из рассмотрения канонических уравнений, которые
показывают также, что если траектория известна, то время определяется
квадратурой. В принципе наименьшего действия в форме Якоби
рассматривается траектория изображающей точки, а не закон ее движения по
этой траектории, так как время в этот принцип не входит ни в явном, ни в
неявном виде. Поэтому из этого выражения принципа можно получить
уравнения движения изображающей точки только введя какой-либо параметр.
Что же касается принципа Гамильтона, то с его помощью вариационные задачи
в классической механике рассматриваются двумя различными методами.
В одном из них функция действия S задается на всем интервале движения и
вариации координат при t = tt и t = t2 должны обращаться в нуль, что
эквивалентно заданию начальных и конечных условий. В другом методе,
связанном с теорией Гамильтона--Якоби, функция S выражается
неопределенным интегралом, т. е. как бы обрывается на некотором моменте
времени ; в этом случае задаются только начальные условия, некоторым
образом фиксирующие нижний предел интеграла действия.
В классической механике исследуются такие задачи, в которых оба метода
эквивалентны.
Наконец, необходимо указать, что вне классической механики, особенно там,
где отыскиваются уравнения поля, а не уравнения движения в точном смысле
слова, теряет смысл характерное для классического принципа Гамильтона
разделение на кинетическую и потенциальную энергию. Здесь речь может идти
о лагранжевой функции, зависящей от некоторых "координат", их первых
производных и времени. Возможность разделения лагранжевой функции на две
функции Т = T(q, q) и V = V(q, t) отнюдь не является существенной и не
имеет общего значения в физике.
8. Принципы, выраженные в форме вариации каких-либо интегралов и
функций, формулируют существенные экстремальные свойства законов
динамики.
Ведь если задана система сил (уравнения движения) и начальные условия, то
каждое последующее положение материальной точки в любой момент времени
однозначно определено. Принцип Гамильтона дает уравнения движения
механики и, следовательно, отнюдь не противоречит причинно-
55*
868
Л. С. ПОЛАК
следственному подходу, заключенному в них. Но он охватывает движение в
целом интегрально, в то время как уравнения движения разбивают его на ряд
последовательных элементов.
В задачах механики число степеней свободы, вообще говоря, обычно
невелико, в то время как число точек системы очень велико. Как в случае
системы твердых тел, так и, в особенности, в случае непрерывной среды
применение обобщенных координат позволяет свести задачу к конечному числу
уравнений, каково бы ни было число точек.
Использование обобщенных координат - одно из преимуществ формализма
Гамильтона-Якоби. Что же касается уравнений Лагранжа, то их особенное
преимущество состоит в том, что все вычисления сводятся к составлению
выражения для кинетической энергии, выраженной в функции t, q, q, и к
простым дифференцированиям. При рассмотрении принципа Гамильтона надо
допустить, что систему можно заставить перейти от того же начального к
тому же конечному положению, что и в действительном движении, с помощью
некоторого фиктивного движения (бесконечно мало отличающегося от
действительного), не заботясь о том, чтобы удовлетворялись уравнения
динамики, но сохраняя связи. Интеграл Гамильтона может обратиться в нуль
для всех вариаций, совместимых со связями, лишь в том случае, если сумма
под знаком интеграла постоянно равна нулю. В противном случае, изменяя
знаки всех б одновременно, можно выбрать их так, чтобы сумма под знаком
интеграла была все время положительна, а следовательно, интеграл не был
бы равен нулю. При U = 0 из принципа Г амильтона получим:
djfTdt = 0, (96)
и
а так как Т существенно положительно, то естественно считать это
выражение условием минимума.
Эта теорема аналогична принципу наименьшего действия, но отличается от
него, так как последний не зависит от рассмотрения времени. В
классической механике принцип Гамильтона выражает свойство движения,
зависящее от времени, а принцип наименьшего действия (особенно отчетливо
это видно в форме, приданной ему Якоби) - свойство, не зависящее от
времени. В случае, когда V = 0, имеем Т = h, и из принципа наименьшего
действия получаем :
(97)
fo
Условие того, что этот интеграл есть минимум, заключается в данном случае
в том, что соответствующее значение (t, -10) должно быть наименьшим.
Таким образом, в отсутствие движущих сил среди всех движений, при которых
Т сохраняет одно и то же данное значение, действительным движением будет
то, которое переводит систему из ее начального в конечное положение в
