Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Опираясь на механику Гамильтона-Якоби и на результаты развития
геометрической оптики в трудах Бельтрами, Липшица, Брунса, Ф. Клейна,
Дебая, Зоммерфельда и Рунге, которые с помощью уравнения эйконала придали
геометрической оптике обобщенный вид и нашли для ее соотношений векторное
выражение, Шредингер исходил из гамильтоновой аналогии. Он применил
неевклидово мероопределение ds2 = 2T(qk, qk)dt2 и все последующие
рассуждения вел в пространстве конфигураций. Воспользовавшись построением
ортогональных некоторому лучу поверхностей дей-' ствия и уравнением
Гамильтона-Якоби и показав, что эти поверхности распространяются в
пространстве в виде волнового фронта, Шредингер пришел к выводу, что
принцип Гамильтона выражает собой принцип Гюйгенса в его до-френелевой
формулировке. Отсюда, воспользовавшись соотношением X = Шредингер
получает свое основное волновое уравнение,
так как в то время как оптико-механическая аналогия Гамильтона целиком
лежит в пределах макроскопической физики, Шредингер осуществляет переход
от макро- к микрофизике. Если в аналогии Гамильтона нет места для таких
понятий, как длина волны и амплитуда, то здесь они вводятся в теорию.
Переход от макромеханики к микромеханике совершается через оптику лучей и
волновую оптику. Для этого необходимо разорвать цепь математической
дедукции, написав для синусоидальной волны
sin + const J . (92)
Введение 1/Л в обобщенную оптико-механическую аналогию позволяет получить
уравнение
Лу> + -8^(Е- V)y> = 0, (93)
которое заключает в себе квантовые условия, и написать :
-Щ1)у) = ИУ)> (94>
т. е. обычную форму уравнения Шредингера для амплитуды. Предельный
переход от волновой механики атома к классической механике
формально
аналогичен гамильтонову переходу, как это показали А. Вентцель и JI.
Бриллюен. Применение оптико-механической аналогии Шредингером- пример
аналогии по форме математических законов физических процессов.
*) Э. Шредингер, см. стр. 668 настоящей книги.
**) Сб. Современная квантовая механика, ГТТИ, 1934, статья Э. Шредингера
"Основная идея волновой механики", стр. 47-48.
862
Л. С. ПОЛАК
Состояние физики в XIX в. не давало еще никаких указаний на то, что
классическая механика является лишь приближением волновой механики,
представляя собою своего рода "геометрическую оптику". Потребовалось
пройти огромный путь, чтобы это стало ясно..Только опыты Дэвисона и
Джермера изменили научную обстановку.
Переходя к вопросу о роли вариационных принципов в построении квантовой
теории полей, необходимо прежде всего указать, что эта теория на
сегодняшний день не является завершенной, т. е. дающей внутренне
непротиворечивое описание определенного круга физических явлений.
Обычный путь построения релятивистской квантовой локальной теории поля
таков:
а) В гейзенберговском представлении прежде всего из операторов поля
строится лагранжиан, удовлетворяющий различным условиям инвариантности,
условию локальности, условию невведения высших производных и, в
большинстве случаев, условию невведения нелинейных членов. Указанными
условиями и заданием геометрических свойств полей лагранжиан определяется
однозначно с точностью до масштабных коэффициентов (квазизарядов).
Уравнения для операторов поля получаются обычным образом, как уравнения
Эйлера-Лагранжа вариационной задачи. Из лагранжиана непосредственно
выводятся операторы всех физических величин : энергии-импульса, 4-вектора
тока и т. д. В случае связанных полей лагранжиан может быть представлен в
виде суммы. Так, например, в случае связанных электромагнитного и
электронно-позитронного полей
L = L0(A) L0(y) L.nt, (95)
где два первых члена справа - лагранжианы свободных полей, а последний-
лагранжиан взаимодействия электромагнитного и спинорного полей.
б) Шредингеровское представление является наиболее полным аналогом
классической гамильтоновой схемы. Это представление исторически оказалось
особенно плодотворным в нерелятивистской квантовой механике. К
шредингеровскому представлению можно просто перейти от гейзенберговского
представления; это показывает эквивалентность лагранжево-
гейзенберговского и гамильтоново-шредингеровского формализмов. Наиболее
существенным отличием шредингеровского представления является отчетливое
разделение динамического и кинематического аспектов задачи. Этим, в
частности, объясняется успех шредингеровского представления в
нерелятивистской теории и его затруднение в релятивистском случае, где
подобное разделение является затруднительным. Переход от
гейзенберговского представления к шредингеровскому осуществляется
каноническим преобразованием с помощью гамильтониана Н (трактуемого как
оператор сдвига по времени) как производящей функции.
в) Представление взаимодействия получается (в электродинамике и ме-
зодинамике без производных) из гейзенберговского также каноническим
преобразованием с тем отличием, что за функцию преобразования берется не
весь гамильтониан, а только член Нт-, описывающий взаимодействие полей.
