Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
ставит перед собой задачу сведения всего многообразия явлений к
динамическим принципам. Он считает центральной задачей разработку идеи о
каком-либо определенном характере связи между эфиром и веществом. Для
этой цели он воспользовался принципом наименьшего действия, который, по
его мнению, позволяет свести к динамике такие физические теории,
внутренний динамический механизм которых скрыт от непосредственного
наблюдения. Аналогичную точку зрения на проблемы электродинамики развивал
ранее Гельмгольц. Лармор находит классический вид лагранжиана и,
воспользовавшись определением величин Е и Н и тем, что полная энергия
системы связана с L, выводит уравнения Максвелла. Легко доказать, идя
несколько иным путем, что уравнения
A\veE = A7ip, roiH-^-sE + AnJ
и вариационные принципы в форме d[Ldt эквивалентны четырем уравнениям
Максвелла.
Подобрав лагранжиан, соответствующий заранее известному виду выражения
электрической и магнитной энергии, Лармор получает уравнения Максвелла.
Зададим лагранжиан в виде
. L = И~еФ + е? , (85)
где Ф, А - скалярный и векторный потенциалы, е - заряд частицы, с -
скорость света, a F = m0c2 (1 - |/1 - j ! тогда для гамильтоновой функ-
*) J. L armor, Aether and Matter, Cambridge, 1900.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
857
ции Н получим выражение
н =с 12 (pt
eAi 'j 2
С
j2 + т0 с2 - т0 с2 + е Ф.
(86)
Таким образом, канонические уравнения Гамильтона применимы к задаче
движения заряда в электромагнитном поле, но, в отличие от динамики, Н уже
не является однородной квадратичной функцией моментов, даже в
нерелятивистском приближении.
Принцип Гамильтона применим к описанию явлений в любом поле, отличающемся
от обычной задачи динамики тем, что в последней есть одна независимая
переменная t и несколько зависимых переменных qh в то время как в случае
поля qt и t являются независимыми переменными, а величины,
характеризующие поле, являются зависимыми переменными. Поле и заряженные
тела образуют систему, подчиняющуюся гамильтоновой динамике.
В начале XX в. Г. Ми*) развил точку зрения, аналогичную позиции Лармора.
Он, как и ряд других физиков, представлял себе единую картину мира как
картину одной формы движения. В этом смысле электромагнитная картина
ничем не отличается от механической. И та, и другая не отражают реальной
структуры материального мира.
Анализ характерного для развития физики XIX в. метода построения моделей
всех немеханических явлений на основе механических аналогий был дан в 90-
х годах XIX в. Г. Герцем и А. Пуанкаре. Герц пришел к выводу, что
бесконечно много физических совершенно различных систем могут быть
моделями одной и той же системы и каждая система есть модель бесконечно
многих, совершенно различных систем. Таким образом, механистическая
картина мира не однозначна. К таким же выводам пришел А. Пуанкаре, исходя
из рассмотрения механических моделей, которые строятся с помощью принципа
Гамильтона. Таким образом, механистическое объяснение не выполняет своей
главной задачи, так как оно не позволяет сделать сколько-нибудь
однозначный вывод о сущности явлений природы. Это - необходимое следствие
немеханической сущности явлений природы и фактически окончательное
падение механицизма. Впрочем, как это часто бывает, исторически он
пережил сам себя. А. Пуанкаре делает отсюда идеалистические выводы,
которые подверг глубокой и справедливой критике В. И. Ленин.
Итак, можно сказать, что в классической теории теплоты и в классической
теории поля вариационные принципы использовались либо для реализации
попыток механического или электромагнитного объяснения всех физических
явлений, либо для феноменологического, объединения их законов в одной
математической форме.
Роль вариационных принципов механики в развитии новой физики
Для выяснения места вариационных принципов в физической картине мира и их
эвристической ценности необходимо было развитие корпускулярно-полевого
синтеза и глубокое проникновение в теоретическую физику идеи
фундаментального значения инвариантов групп преобразования. Это развитие
исторически осуществлялось в теории относительности, квантовой механике
(нерелятивистской и релятивистской) и квантовой теории полей.
С релятивистской точки зрения плотность, умноженная на четырехмерный
объем пространства-времени, есть действие в смысле Гамильтона.
*) G. М i е, Grundlagen einer Theorie der Materie, Erste Mitteilung, Ann.
d. Phys., т. 37
1912.
858
Л. С. ПОЛАК
Выражение L имеет в теории относительности (в части, зависящей от Т) вид
причем величина, стоящая под знаком интеграла, является элементом
собственного времени, который был признан Минковским простейшим
инвариантом специальной теории относительности и введен Эйнштейном в
качестве элемента мировой линии в общую теорию относительности. Принцип
Гамильтона в этой форме автоматически удовлетворяет требованию
инвариантности теории относительности (так же как и уравнения Лагранжа).
Почти одновременно с открытием Эйнштейном общей теории относительности Д.
