Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
кинетическую энергию и вопрос только в том, создается ли эта кинетическая
энергия изменением обычных или игнорируемых координат. Глубокая идея
объяснения всех явлений свойствами материи в движении ограничена у Дж.
Томсона представлением о том, что это движение является механическим, и
именно к нему сводятся все другие виды наблюдаемых изменений.
М. Планк утверждал, что объединение различных областей физики в единое
целое может быть выполнено с помощью принципа Гамильтона. С точки зрения
М. Планка*), развитой им в первой четверти XX в., общим принципом всех
обратимых процессов является принцип наименьшего действия, который лежит
в основе построения единой физической картины мира, так как он совершенно
симметрично заключает в себе четыре мировые координаты и инвариантен при
всех лоренцовых преобразованиях. Принцип наименьшего действия возник в
механике, но сфера его применимости охватывает термодинамику и
электродинамику. Поэтому задача объединения
*) М. Планк, см. стр. 580 настоящей книги, а также М. Планк, Отношение
новейшей физики к механическому мировоззрению, Изд. Физика, 1911.
а для S = /
9 Г
Ш С]'
(81)
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
855
теоретической физики должна решаться с его помощью, для чего надо
рассмотреть случаи, когда конфигурация системы определяется конечным
числом координат, а также те, в которых координаты состояния системы
представляют собой непрерывное многообразие. В первом случае принцип
Гамильтона дает :
/dt 21 Ч + щ; Ч + Ф, Ч) = 0 , (82)
где Ф, - слагающие внешних сил по координатам, а во втором
J dt [j dr • p v q. ц. _ (' dt dxx + 8xy + ...) + f daty(] = 0 ,
(83)
где d , do - соответственно элементы объема и поверхности, р - плотность,
/ - некоторая однородная функция второй степени, представляющая
потенциальную энергию единицы объема, а хх = ¦¦¦ величины дефор-
маций. Важнейшим вопросом является применение принципа Гамильтона к
термодинамическим процессам. В этом случае переменными будут р, V, Т, S и
изменение энергии (или полной работы) А = - р 6Г + Т 6S, которое надо
сопоставить с общим выражением А = Ф1 dqt + Ф2 dq2. Примем V и S за
координаты, а р и Т будут как бы слагающими сил Ф1 и Ф2. Так как
термодинамическое обратимое изменение состояния протекает бесконечно
медленно, то V, S и т. д. можно положить равными нулю и из принципа Г
амильтона получим:
или
а так как из Е = v q - L следует в данном случае Е = - L, где Е - полная
энергия, то написанное уравнение есть измененная запись уравнения dS = dE
+ р .
Рассмотренный выше метод исследования термодинамических явлений
Гельмгольца имеет совершенно иной смысл. У него координата V сохраняется,
а вместо S вводится некоторая циклическая координата е, входящая в
выражение L только в виде г ; эта производная представляет температуру,
следовательно, L = L(V,T) и А = - р 6V Е 8е, откуда на основании принципа
наименьшего действия получим:
-, + (?),-о, о
или
(произвольная постоянная, равная нулю).
Так как Е = к -Ц- - L = Т-|?- - L , то L = - (Е - TS), т. е. 7
противоположно по знаку свободной энергии системы. Позиция Гельмгольца по
сравнению с точкой зрения Планка имеет то принципиальное преимущество,
что тепловая энергия рассматривается им как движение некоторых масс, а
слабость ее в том, что эти массы - скрытые, ненаблюдаемые.
856
Л. С. ПОЛАК
Развитие электродинамики в XIX в. поставило перед механистической
концепцией физики еще более трудную проблему, чем развитие теории
теплоты, так как здесь наряду с частицей или ансамблем частиц впервые
возникла проблема непрерывного поля.
Функция Лагранжа L = L(q, q, t) представляет собою функцию времени и
функционал от возможных траекторий </,(;) частиц системы. По аналогии
можно предположить, что функция Лагранжа для поля является функционалом
от амплитуды ip{r,t). Обычно ее представляют в виде интеграла от
плотности лагранжиана, взятого по всему пространству:
L = j L (у), grad гр, у, I) dV, (84)
где появление grad у> в аргументе L обязано тому обстоятельству, что поле
имеет несчетно большое число степеней свободы и у непрерывно зависит от
г. Так как обычно предполагается, что лагранжиан зависит от функций поля
и их производных не выше первого порядка, то соответствующие уравнения
оказываются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка. Для
свободных полей на лагранжиан налагается требование линейности и
однородности уравнений этих полей. К этим уравнениям приводят лишь
лагранжианы, квадратичные по функциям поля и их производным. Эти условия
в совокупности с релятивистской инвариантностью и трансформационными
свойствами функций поля определяют лагранжиан с точностью до
коэффициентов. Если исходить из вариационной задачи, то уравнения Эйлера-
Лагранжа должны быть именно уравнениями поля.
Продолжая классическую традицию английской физики У. Томсона, Фарадея
Мак-Куллоха, Максвелла, которые шли по пути построения физических
(механических) моделей на основе аналогии, Лармор*) в конце XIX в. также
