Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
для полного дифференциала R из (А) и (В) и воспользовавшись известным
выражением для dL, после небольших преобразований найдем уравнения Рауса
:
для к = 1, 2, - г
Рк== 9qu' Рк= Щ ' (^
для k = f - r+l,f - r + 2,...,f
P°k=~-W' ** = + $• <б9>
Первая группа уравнений относится к типу уравнений Лагранжа (при R - -
L), а г - уравнений второй группы относятся к типу уравнений Гамильтона
(при Н - R).
Раус выводил эти уравнения для приложений к циклическим системам. Для
этого надо принять, что координаты второй группы степеней свободы
являются циклическими и, следовательно, не входят в функцию Лагранжа, а
также согласно первому уравнению из второй группы рк оказываются
постоянными. Подставляя зти постоянные рк в (В), получим функцию Рауса,
зависящую только от / - г координат первой группы qk и от qk. Для этих
координат справедлива первая группа уравнений Рауса, в силу чего задача
сводится к / - г уравнений типа Лагранжа.
Гельмгольц положил этот вид уравнения Рауса в основу своей теории моно- и
полициклических систем, связанной с основными проблемами термодинамики.
В 80-х годах XIX в. Пуанкаре ввел понятие об интегральных инвариантах.
Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений
= (70)
где X,- - заданные функции х" t. Эти уравнения можно рассматривать как
уравнения движения точки в пространстве п-измерений. Многообразие такого
рода точек, занимающих в начальный момент некоторую m-мерную область А0,
будет и для всякого последующего момента занимать некоторую т-мер-ную
область А. Распространенный на область А m-кратный интеграл называется
интегральным инвариантом, если он сохраняет одинаковые значения для
всякого момента времени. Так, например, при движении несжимаемой жидкости
интеграл для объема жидкости, распространенный на все ее частицы,
заполняющие в начальный момент определенную область, будет интегральным
инвариантом, ибо состоящий из этих частиц объем жидкости не изменяется со
временем.
Теория интегральных инвариантов создана А. Пуанкаре и изложена им в труде
"Methodes nouvelles de la тёсашцие celeste", т. III. Пуанкаре
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
845
показал, что общие уравнения динамики обладают тем свойством, что они
допускают линейный интегральный инвариант
SZpidQi (71)
или, что естественно получается из теории Гамильтона,
SSPtdqt-HdT. (72)
Выражению под знаком интеграла можно дать название тензора "количество
движения - энергия". Элементарное действие Гамильтона есть не что иное,
как тензор, рассматриваемый вдоль траектории.
Дифференциальные уравнения движения не только допускают интегральный
инвариант (71), но и являются единственными дифференциальными
уравнениями, обладающими этим свойством. Поэтому в основу механики можно
положить следующий принцип - "принцип сохранения количества движения и
энергии": "Движения материальной системы (с вполне голоном-ными связями),
находящейся под действием сил, имеющих силовую функцию, управляются
дифференциальными уравнениями первого порядка, связывающими время,
параметры положения и параметры скоростей и эти дифференциальные
уравнения характеризуются тем свойством, что интеграл тензора "количество
движения -энергия", распространенный на любую непрерывную, линейную,
замкнутую последовательность состояний системы, не меняет значения при
перемещении этих состояний каким-либо способом вдоль соответственных
траекторий"*).
Эта формулировка, хотя и весьма абстрактна, но имеет и некоторые
преимущества. Дело в том, что уравнения Лагранжа не зависят от
координатной системы, в чем и заключается их значение, но время в этих
уравнениях еще играет особую роль. Напротив, принцип сохранения
количества движения и энергии позволяет дать законам динамики форму, не
зависящую от выбора координат пространства-времени. Действительно, если
одновременно заменить переменные, относящиеся к параметрам положения
системы и ко времени, то достаточно иметь выражение тензора "количество
движения - энергия" в новой системе координат, чтобы получить уравнения
движения. Эта схема охватывает, естественно, и релятивистскую механику.
Рассмотрим непрерывную, линейную, замкнутую последовательность
траекторий, каждая из которых ограничена промежутками времени At = tx -
10. Полная вариация действия, когда мы вернемся к начальной траектории,
будет равна нулю, так что, интегрируя по произвольному параметру а (х; =
/((a, t)), получим :
I(2mtх-дх?- E8t\ = f (Xmtxt 8xt - E8t)0.
Для понимания дальнейшего введем пространство состояний-пространство семи
измерений (х, у, z, х, у, z, f). Траекторию можно определить как
последовательность состояний, соответствующих одному и тому же реальному
движению точки, т. е. как решение системы дифференциальных уравнений
т dii - Ш dt л' т dt ~ дxi '
В силу этого криволинейный интеграл
' J 2 mi *i &Xi - Edt,
*) Э. К a p т а н, Интегральные инварианты, Гостехиздат, М.-Л., 1940,
стр. 9.
846 л- с- ПОЛАК
взятый вдоль некоторой замкнутой кривой пространства состояний, не
