Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 402

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 396 397 398 399 400 401 < 402 > 403 404 405 406 407 408 .. 461 >> Следующая

трехмерном евклидовом пространстве, а как движение одной-единственной
точки л-мерного риманова пространства. Динамическая траектория
естественного движения между двумя заданными конфигурациями при заданном
значении энергии будет некоторой кривой метрического многообразия, для
которого установлено мероопределение вида
ds* = 2ankdqndqk.
Таким образом, фундаментальный синтез геометрического и аналитического
аспектов, представление движения в п-мерных неевклидовых пространствах,
обобщенная концепция корпускулярно-волнового движения являются основными
тенденциями развития классической динамики системы XIX в. и начала XX в.
Именно это позволило использовать классическую динамику для углубления
познания действительных закономерностей материального мира.
Развитие и обобщение вариационных принципов механики в XIX- XX вв.
Развитие вариационных принципов механики во второй половине XIX в. и
начале XX в. произошло прежде всего путем обобщения их на различные виды
механических систем и выяснения характера варьированных движений (см.
выше), а затем путем распространения их на механику сплошных сред и путем
разработки смежных вопросов аналитической механики. Упомянем прежде всего
о вариационном принципе Кастилиано-начале наименьшей работы деформации*).
Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике
сплошных сред, так как этот принцип позволяет получить не только
дифференциальные уравнения задачи, но также и краевые условия, которым
должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных
производных.
В качестве примера приведем вывод из принципа Гамильтона уравнений Эйлера
для движения несжимаемой жидкости. Подвергнем массу жидкости виртуальному
смещению ds, которое, однако, не нарушает условия несжимаемости ср =
= 0, где A v - первоначальный, a A v' - изменен-
ный объем элемента жидкости. Так как ср = divs, то должно быть :
дер - div <5s = 0.
Это условие будет выполнено, если в подынтегральное выражение в принципе
Гамильтона добавить величину дер, умноженную на множитель Лагранжа Я.
Тогда
jdljdT(<5T + M + A(5^) = 0, (66)
о
где все величины относятся к единице объема, а интегрирование по йт
распространяется на весь объем жидкости.
Далее,
д Т - Р (v, dv) , д А = (F, ds) .
*) См., например, Л. С. Л е й б е н з о н, Вариационные методы решения
задач тео-ири упругости, М.-Л., 1943; Я. А. Пратусевич, Вариационные
методы в строительной механике, Гостехиздат, М.-Л., 1948.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
843
Введя действительную скорость v = , получим для ее виртуальной
ва-
риации
Преобразуем член с бТ:
/ p(v, dv)dt = jp fr, -ddt Ss )dt = ((~P~, ds)dt;
U U i.
так как Я 695 = Я div 6s, то для члена Я 695 напишем следующее выражение:
Я div ds = div (Я 6s) - grad (Я, 6s) .
По теореме Гаусса-Остроградского получим :
j' Я (div ds) dr = J Я ds da - J (grad Я, 6s) dr.
Используя приведенные преобразования, имеем :
j' dt J dr f-p ^ -j- F - grad (Я, 6s)) + [df f d<r • Я <5sn = 0. (67)
ь t, '
Из первого интеграла, так как 6s благодаря введению множителя Я может
быть выбрано произвольно, получим :
Р - J + Vad Я = F.
Это и является уравнением Эйлера, если Я отождествляется с давлением р.
Таким образом, с точки зрения аналитической механики гидродинамическое
давление р представляет реакцию, связанную с условием несжимаемости,
которому должен удовлетворять выбор Я. Интеграл по поверхности, который
также обращается в нуль согласно принципу Гамильтона, дает граничные
условия, требующиеся для полного определения давления.
Для полной характеристики комплекса вопросов, связанных с вариационными
принципами, необходимо отметить, что, кроме уравнений Лагранжа второго
рода и канонических уравнений Гамильтона, была найдена еще одна группа
уравнений, занимающая промежуточное положение между уравнениями Лагранжа
и Гамильтона. Существенно новое, особенно для приложений в физике, внес в
этот вопрос аналитической механики Раус.
В 70-х годах XIX в. Раус*) вывел уравнения движения, занимающие
промежуточное положение между уравнениями Гамильтона и уравнениями
Лагранжа. Для получения уравнений Рауса разобьем все степени свободы
системы на две группы; одну, состоящую из (/ - г) степеней свободы, будем
описывать обобщенными координатами Лагранжа qlt q2, , qf-r,
qv ..., qf-r, вторую же группу будем характеризовать гамильтоновыми
обобщенными координатами и импульсами qf-r+1, ..., qf, Pf-r+i, ¦ • •, Pf-
Вместо функции Лагранжа L или функции Гамильтона Н вводим теперь функцию
Рауса R, причем
R = R(t, qt, ... , qf; qx, ...;qf-r; Pf-r+1, •••,/>/)•
*) R 0 u t h, A treatise of a stability of a given state of motion, 1877,
London.
844
Л. С. ПОЛАК
Определяем R следующим образом : s
Я= 2 РкЧк~ L(t,q1... ,qf;qlt qf), (А)
*=/-r+1
или
f-r
R = H(f,qlt qf; plt ... , pf) - ^ pkqk . (B>
k= l
При r = f функция Рауса переходит в функцию Гамильтона, а при г - 0 - с
точностью до знака переходит в функцию Лагранжа. Написав два выражения
Предыдущая << 1 .. 396 397 398 399 400 401 < 402 > 403 404 405 406 407 408 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed