Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
теорией, проводившей геометризацию в пространстве-времени.
Уже в классической механике, придав принципу наименьшего действия
подходящую форму, геометризовали общую задачу динамики.
Исходя из работ Якоби, Томсона и Тэта, Лиувилля и Липшица, Дарбу**)
развил геометризацию проблем динамики, рассматривая среди всех возможных
движений с силовой функцией U такие, которым отвечает одно и то же
значение постоянной Н закона сохранения энергии, или, что то же самое,
одна и та же полная энергия.
Если взять в качестве основной формы
2 Т dt2 = aik dq, dqk
и ввести импульсы
Pi = аиЯ;>
то
2 T = aikp,pk.
Тогда уравнение в частных производных Якоби запишется так :
а№ж1Н2^ + Л)-
Пусть в - полный интеграл этого уравнения и пусть в1г б2, ..., вп^1 -
частные интегралы линейного в F уравнения
Эв_ 0F dqt 9 qk
Согласно Липшицу имеем:
2 (U + h) alk dq, dqk = dQ* + / (dQ1, den_±), откуда для действительного
движения, при котором
dQ1 = dOt=-...= = 0,
имеем:
dSV2(U + h)2aikdq,dqk = 0.
Таким образом, с помощью этого выражения принципа наименьшего действия
определение траектории тела сводится к отысканию геодезической линии, т.
е. к чисто геометрической задаче о нахождении экстремума интеграла (46).
*) Н. Hertz, Die Principien der Mechanik in neuem Zusammenhange
dargestellt, Gesammelte Werke, т. 3, 1910, § 190. См. также стр. 515
настоящей книги.
**) G. D а г b о.и х, Lemons sur la Шёопе gёnёrale des surfaces et les
applications gёo-metriques du calcul infinitesimal, т. 2, ч. VI-VIII,
стр. 480-511, 1899, Paris.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
841
Форма, которую придал Якоби принципу наименьшего действия, выражает собою
тот факт, что траектория консервативной, склерономной, голономной системы
является геодезической линией в многообразии конфигураций с линейным
элементом действия. Уравнения движения будут иметь, следовательно, вид
Как нами выше уже было отмечено, во второй половине XIX в. в первую
очередь в работах Софуса Ли выявилась органическая связь механики в форме
Гамильтона-Якоби с теорией преобразований.
Лиувилль показал, что при любом движении, определяемом канонической
системой, протяженность или объем в фазовом пространстве (р, q) являются
инвариантными. В 1891 г. Ф. Клейном была проанализирована связь лучевой
оптики и динамики в п-мерных пространствах.
Канонические уравнения оказывались, по существу говоря, математическим
выражением принципа Гюйгенса, рассматриваемого в его первоначальном
геометрическом виде. Механическое движение с этой точки зрения
рассматривается как непрерывное саморазвертывание касательного
преобразования. Глубокая аналогия между идеями гамильтоновой механики, не
зависящей от выбора системы координат, и геометрией многомерных
пространств привела к геометризации механики. Было выяснено, что
разыскание движения голономных систем со связями, независимыми от времени
под действием сил, имеющих потенциал, может быть сведено к задаче
геодезических линий. Механика Герца, основанная на его принципе
прямейшего пути, была геометризована в п-мерном пространстве; однако она,
несмотря на последовательность построения, оказалась малоплодотворной в
силу сложной замены сил связями со скрытыми, вообще говоря, системами.
Внутренний синтез аналитических аспектов динамики и геометризации в п-
мерных пространствах, отражая глубокое родство выражения количественных
связей материального мира в анализе и геометрии, привел к такой
"геометризации механики", которая в какой-то степени подготовила
аналогичные, но гораздо более фундаментальные идеи теории
относительности. Геометризация принципа наименьшего действия в форме
Якоби 6 J J/2 (U + h) 2.' fH-ids) = 0, определяющего траектории с одной и
той же
полной энергией, была осуществлена в работах Лиувилля (1856 г.), Липшица
(1871 г.), Томсона и Тэта (1879 г.), Леви-Чивита (1896 г.) и Дарбу,
посвятившего этой проблеме две части своих "Лекций об общей теории
поверхностей".
Первые идеи о связи динамики системы с движением точки в п-мерном
пространстве были довольно неотчетливо изложены Риманом в 1854 г. В 1869
г. Бельтрами и в 1872 г. Липшиц использовали геометрические методы. В
1917 г. Леви-Чивита применил понятие параллелизма к механике. Идея
многомерного риманова пространства постепенно все глубже внедрялась в
механику. В конце XIX в. Дарбу и Герц рассматривали динамическую систему
как точку, движущуюся в п-мерном пространстве. В 1894 г. Пенлеве изучал
механические проблемы с помощью многомерных пространств, используя
главным образом евклидову метрику. Наконец, тензорные методы в динамике
ведут свое начало от работ Риччи и Леви-Чивита 1900 г. Дальнейшее
развитие этих идей принадлежит Райту (1908 г.), Гораку (1924 г.), Синджу
(1926 г.), Вранцеану (1926 г.), Скаутену (1929 г.) и другим.
Поведение динамической системы оказалось таким, какое естественно
приписать точке в п-мерном пространстве. Движение системы представляется
842
Л. С. ПОЛАК
тем самым не как движение совокупности так или иначе связанных частиц в
