Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
*) J. Lagrange, Application de la mgthode exposge dans le mgmoire
prgcgdent a la solution de diffgrents problgmes de dynamique, Miscellanea
Taurinensia, т. 2, 1760-1761 ; Oeuvres de Lagrange, т. 1, 1867, стр. 367
и сл. См. также стр. 117 настоящей книги.
**) Н. Helmholtz, Zur Oeschichte des Princips der K'e*nsten Wirkung,
Wissensch. Abhandl., т. 3, 1895, Leipzig, стр. 249.
получаются из соотношения (53) при различных специализациях общего
способа варьирования.
Рассмотрим важный вопрос о варьировании несколько подробнее. Вариации
положения должны быть виртуальными перемещениями. Если бы мы потребовали,
чтобы варьированное движение удовлетворяло тем же уравнениям связей, что
и действительное, то в случае уравнений связей вида
°>к(X;, У/, zt, 0 = 0 Для варьированного движения получили бы :
0}к (xi + dXj у t -j- dt) = О
и, следовательно,
дсок - 0,
но согласно принципу Д'Аламбера уравнения, определяющие виртуальные
перемещения, имеют вид
й = о.
Дто уравнение согласуется с Ъо>к = 0 только в том случае, когда или = 0,
т. е. в уравнения связей не входит время,, или 8t - 0, т. е. когда должен
применяться принцип Гамильтона. При применении же принципа наименьшего
действия оказывается существенным, входит время в уравнения связей Или
нет. Действительное и варьированное движение в этом случае существенно
различны.
Пусть материальная точка, на которую не действуют никакие силы, связана в
своем движении уравнением
<Р (х, у, z)dx + y>(х, у, z)dy + x(х,y,z)dz - 0, (58)
т. е. в любом положении точка должна двигаться вдоль заданного элемента
поверхности.
В некоторых случаях уравнение (58) может быть проинтегрировано в виде со
(х, у, z) - const; тогда существует такая функция Q (х, у, z), при
умножении на которую левая сторона (58) делается полным дифференциалом.
Функция Q должна для этого удовлетворять условиям
8 (Оу) _ 8(0у) 8(0") _ 9 (Ох) 9 (ОХ) = 8(0")
ду Эх ' 9z ' 9 у ' Эх 9z ' '
или, обозначив частные производные по х, у, z соответственными индексами,
получим:
(r){<рУ -<px) = Qxv - Qy?>
(r) {v>z - хУ) = (r)у х - Qz у>,
Q (Хх -<p^=(r)z<p - (r)xX-
Умножив эти уравнения соответственно на %, <р, у> и сложив, получим
выражение
X (<Ру - У>х)+<Р (Vz - Ху) + V (Хх - <Pz) = 0 . (6°)
которое и является условием интегрируемости, а следовательно, и голоном-
ности системы, состоящей из точки, на которую наложена связь (58).
Для нахождения дифференциальных уравнений движения свободной точки
воспользуемся принципом наименьшего действия в узкой форме.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
839
В этом случае получим, очевидно,
д j ds = О
или
8 j ds = j dds = [
(dx 6 dx + dy 8 dy + dz 8 dz) ds
(61)
Проинтегрировав (61) по частям и используя равенство вариаций координат
нулю на концах траектории, найдем :
Так как вариации представляют собой виртуальные перемещения, то они
определяются уравнением
Умножив левую сторону этого уравнения на Я ds и прибавив его к выражению
под знаком интеграла, получим :
Как известно, эти вторые производные относятся друг к другу, как
направляющие косинусы нормали траектории, лежащей в соприкасающейся
плоскости, тождественной с нормалью к элементу поверхности,
соответствующему точке (х, у, z). Таким образом, в каждой точке
траектории соприкасающаяся плоскость перпендикулярна к элементу
поверхности, соответствующему этой точке. Таково геометрическое свойство
действительной траектории.
То же уравнение можно получить и при другом определении варьирования.
Требование, чтобы вариации положений были виртуальными перемещениями,
теперь устраняется. Вместо него выдвигается требование, чтобы
варьированная траектория подчинялась тому же уравнению
которому подчинена подлежащая варьированию траектория. Здесь имеет место
совсем другая задача вариационного исчисления, из которой, вообще говоря,
не возникают действительные траектории материальной точки. Вариации в
этом случае должны удовлетворять уравнению
Раскрывая 8 [ ds = 0 согласно (61), прибавляя левую часть уравнения (64),
умноженную' на А, и интегрируя по частям, получим после небольших
преобразований :
(62)
<р дх + у> бу + х bz = 0 .
) &| ds = 0,
откуда
или
d'zx d'zy _ d2z ds2 ' ds2 ' dsz
= <р:гр:%.
(63)
<P (x, y,z)dx + f(x,y,z)dy + x(x,y,z)dz = 0,
(58)
6<p dx -f- dyj dy + 8% dz + <p d dx + f d dy + % d dz = 0 . (64)
и аналогично для у и 2.
840
Л. С. ПОЛАК
Эти уравнения вместе с уравнением (58) определяют так называемые
"геодезические траектории".
Герц*) показал, что для голономных систем геодезические траектории
совпадают с наиболее прямыми, т. е; с действительными траекториями.
Геометризация аналитической механики Гамильтона-Якоби
Проблема геометризации основных соотношений динамики, вытекавшая из
глубокого внутреннего родства теории поверхностей и проблемы отыскания
динамических траекторий для различных механических систем, вызвала
многочисленные исследования.
Теория относительности отнюдь не является первой теорией, геометр и-
зующей динамику. Теория относительности в этом смысле была лишь первой
