Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Изложение Лагранжем вопроса о варьировании t кажется недостаточно ясным,
однако несомненно, что в принципе наименьшего действия он считает t
переменным.
Другие механики в основном приняли то понятие вариации, которое дано
Эйлером в его более поздней статье о методе Лагранжа. Это понятие
заключается в следующем. "Вариация" функции имеет место, когда
заключенные в ней параметры претерпевают изменение. Якоби в
книге"Voilesungen fiber Dynamik" утверждает, например, что вариации 8qt
заключают в себе лишь изменения qb которые проистекают от изменений
содержащихся в qt произвольных постоянных. В соответствии с этим он
делает вывод, что независимые переменные не варьируются, так что 8t - 0.
Вопрос о смысле вариаций в принципах Гамильтона и наименьшего действия
рассмотрел в 1896 г. Гёльдер*).
Для того, чтобы составить отчетливое представление о смысле вариации,
необходимо каждое положение точки при варьированном движении отнести и
какому-либо положению точки в первоначальном движении. Без установления
такого соответствия нельзя написать
d$Tdt = $d(Tdt). (53)
Установить такое соответствие можно произвольно, так как оно лишено
физического смысла: вариация движения есть только математическое
вспомогательное построение. Вариация времени будет разностью между
моментами прохождения через соответствующие положения.
Для того чтобы выполнить вариацию движения, сообщим сначала каждой точке
первоначальной траектории некоторое смещение, так что возникает новая
траектория с точками, соответственными исходной траектории ; затем
определим скорость каждой точки новой траектории, причем она может быть
произвольной, но возможно мало отличающейся от скорости в соответствующей
точке исходной траектории.
Эту скорость можно определить двумя способами: 1) соответствующие точки
обеих траекторий проходятся одновременно, 2) полная энергия для
соответствующих точек траекторий одна и та же.
Так как полная энергия есть Т - U, а первоначальное движение задано, то
для каждого положения варьированного движения сначала известна лишь
потенциальная энергия, и затем в силу Е = Т - U из условия варьирования
получается значение кинетической энергии, а следовательно, и скорости.
Легко видеть, что при втором способе варьирования время варьируется, а
при первом - нет.
Вывод интегрального принципа для общего случая варьирования приводит
Гёльдера при допущении, что вариация движения выполнена так,
*) О. Holder, Uber die Principien von Hamilton und Maupertuis. Nachricht.
von der Kpnigl. Gesellsch. der Naturwissensch. zu GOttingen, Math. Phys.
Klasse, 1896, GOttingen. См. также стр. 538 настоящей книги.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
837
что &xh dyh 5zt есть виртуальные перемещения системы, к
выражению
fj{2Tddt + (дТ + d'U) dt} = 0, (53')
где d'U = 2J {X dxj + Y дyt + Z dzt) - работа, которую совершили
бы
действующие силы на одном из этих воображаемых перемещений.
Воспользуемся теперь двумя введенными способами вариации. При изохронной
вариации dt = 0 и из формулы (53') получим :
J (дТ + d'U) dt = 0 , (54)
т. е. принцип Гамильтона. При изоэнергетической - &Т = d'U и из (53)
§ d(Tdt) = d § Tdt = 0, (55)
т. е. принцип наименьшего действия.
Если существует силовая функция U, то
W^Z^-dXi., v= 1,2,3,
причем, если даже dU содержит время, то все-таки в том случае, когда
время не варьируется,
d'U = dU, (56)
и для принципа Гамильтона получим обычное выражение
<5j'(T + U)dt = 0. (57)
и
В случае же вариации, требуемой принципом наименьшего действия, должна
существовать не зависящая от времени функция U, чтобы удовлетворялось
соотношение (55).
Отсюда получается сразу более узкая форма принципа наименьшего действия
для того случая, когда существует не зависящая от времени силовая функция
и время не входит в уравнение связей ; при этом вариации положений должны
быть виртуальными перемещениями, а начальное и конечное положения должны
оставаться неварьированными.
Лагранж в "Аналитической Механике" рассматривает именно эту узкую форму
принципа наименьшего действия. Однако указание на более широкую форму
принципа содержится в его ранней работе*), где в № 13 прямо указывается
на то, что полученное Лагранжем в № 8 этой статьи соотношение,
тождественное с уравнением (55), применимо в случае произвольных сил.
Большинство ученых, разрабатывавших этот вопрос после Лагранжа, взяли у
него как раз узкую форму принципа (в том числе Гамильтон и Якоби). Лишь
Гельмгольц**) рассмотрел расширенную форму принципа. Однако Гельмгольц не
счел нужным проводить отчетливое различие между принципом наименьшего
действия в расширенной форме и принципом Гамильтона. Он основывался при
этом на том безусловно верном положении, что оба эти принципа
эквивалентны уравнению Д'Аламбера и в силу этого являются следствиями
один другого. Тем не менее, это не дает права отождествлять их, так как
варьирование, применяемое в каждом из этих принципов, производится
совершенно различным способом. Оба эти принципа
