Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
быть написаны с помощью скобок Пуассона следующим образом :
> fly) ^ > СPi > Pj) = 0 , I, / = 1, 2 , . . . , Н ,
(fl; > Pj) = 0, i,i = 1, 2, ... , п, i /,
(fl/, Pj) = 1 " 1,/= 1,2, ... , п, i = /
В классической механике скобки Пуассона могут считаться определением
канонических переменных, но они имеют смысл только тогда, когда qt и р,
являются функциями других переменных q* и р*, о которых уже известно, что
они канонические. Иначе дело обстоит в квантовой механике.
Если в классической теориц понятие канонических переменных является
понятием механики, то в квантовой теории это скорее алгебраическое
*) Функции S и Н называются производящими функциями канонического
преобразования.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
833
понятие. В квантовой механике задача состоит не только в определении
уравнений движения, но и в нахождении специфических квантовых условий,
которые в некотором смысле слова заменяют действующий в классической
механике коммутативный закон умножения. Дирак пишет : "Известно, что в
некоторых предельных случаях, например, когда массы очень велики,
классическая механика удачно описывает поведение механических систем.
Если же мы не имеем дела с этими предельными случаями, то можно надеяться
построить теорию таких же механических систем, сделав в классических
уравнениях некоторые естественные обобщения и выбрав квантовые условия
таким образом, чтобы они были естественным обобщением классического
закона, по которому все переменные коммутируют' друг с другом. Мы увидим,
что таким путем возможно построить квантовую теорию отдельных
механических систем, аналогичную классической механике"*). Как же
построить уравнения движения для квантовой системы по аналогии с
классической механикой? Для этого, по мысли Дирака, надо воспользоваться
скобками Пуассона. Этим классическим скобкам соответствуют некоторые
аналоги и в квантовой теории.
Дирак определяет квантовые скобки Пуассона так, чтобы и они обладали
известными свойствами классических скобок Пуассона (в первую очередь
линейностью и инвариантностью при касательном преобразовании). Тогда
нетрудно получить для любых переменных # и г/:
diVi - Vi&i = ih (Mi), #2% - = ih ('hvd,
где А не зависит от & и rj и является числом, и притом вещественным.
Следовательно, для любых двух переменных квантовые скобки Пуассона (#,
rj) определяются Так:
th] - гф - i А ($, rj), (50)
где А - универсальная постоянная размерности действия (т. е. произведения
количества движения на длину). Такая размерность вытекает из того, что в
классической механике отношение дг\ к скобке Пуассона (#, rj) имеет
размерность действия.
Развитие математических проблем аналитической механики вариационных
принципов в XIX в.
На основе результатов, найденных Лагранжем, Гамильтоном, Якоби,
Остроградским, Ли, возник ряд новых математических и механических
проблем.
Еще Якоби**) показал, что если первая вариация простого определенного
интеграла равна нулю, то вторая вариация интеграла может быть приведена к
виду, удобному для исследования.
Основываясь на этом результате, Серре***) в нескольких мемуарах,
напечатанных в 1871-1879 гг., решил вопрос о минимуме интеграла действия
в общем виде, доказав, что вариация второго порядка интеграла действия
для действительного движения положительна и минимум этого интеграла имеет
место при некоторых ограничениях, наложенных на пределы интегрирования.
*) Дирак, Основы квантовой механики. Гостехиздат, 1932, стр. 112.
**) С. О. J. Jacobi, Zur Theorie der Variationsrechnung und der
Differentialgleichun-gen, Journal von Crelle, т. 17, 1837.
***) С. S e r r e t, МётоЬе sur le principe de la moindre action, Мёт.
Acad, de Sci, 1871.
53 Вариационные принципы механики
Продолжая исследования М. В. Остроградского, Ф. А. Слудский*) и затем М.
И. Талызин**) показали, что принцип наименьшего действия в форме Эйлера-
Лагранжа и принцип Гамильтона-Остроградского существенно различны. Дело в
том, что в принципе Гамильтона вариации координат bq, изохронны и время
не варьируется, так как каждой точке действительной траектории ставится в
соответствие точка на другой бесконечно близкой кривой, причем обе точки
проходятся в один и тот же момент времени. В случае же принципа Эйлера-
Лагранжа связи стационарны и имеет место закон живых сил Т = 17 + h. При
этом допущении время должно варьироваться.
О. И. Сомов***) также подчеркивает разницу между вариациями в
рассматриваемых принципах. И. Д. Соколов, В. П. Ермаков, Г. К. Суслов и
Д. К. Бобылев****) исследовали, при каких условиях действие фактически
является минимальным. Д. К. Суслов обобщал принцип Гамильтона-Остро-
градского на случай неголономных связей. Д. К. Бобылев использовал при
исследовании вариации действия метод вариации произвольных постоянных. Н.
Е. Жуковский*****) посвятил принципу наименьшего • действия •две статьи.
Ф. А. Слудский получил уравнение движения для системы материальных точек,
рассматривая полную вариацию интеграла действия. Вычисление условного
