Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 395

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 389 390 391 392 393 394 < 395 > 396 397 398 399 400 401 .. 461 >> Следующая

из допущения, что система может быть и несвободна, но кинетическая
энергия является однородной функцией второго порядка от обобщенных
скоростей. Таким образом, он неявно предполагал стационарность связей. М.
В. Остроградский получил тот же принцип в 1848 г., не налагая этих
ограничений, а рассмотрев связанную с ним вариационную проблему в более
общем виде*). Поэтому рассматриваемый принцип получил название принципа Г
амильтона-Остроградского.
Остроградский читал свой"Мёшо1ге sur les equations differentielles
relatives aux problemes des isoperimetres" ("Мемуар о дифференциальных
уравнениях проблемы изопериметров") 29 ноября 1848 г. на заседании
Российской Академии
*) М. Ostrogradsky, Sur les int6grales des 6quations generates de la
dynamique, Mem. de l'Acad. de Sci. des St-Plq, т. 8, № 3, 1850, 33-43.
830
Л. С. ПОЛАК
наук и опубликовал его в 1850 г. Вот кратко основная идея
Остроградского.. Пусть V - функция независимой переменной t, а также
переменных xmf. которые предполагаются функциями t, и производных этих
функций по t. Предположим, кроме того, что V включает производные каждой
из функций хт до л-го порядка включительно. Если д J Vdt - 0, то по
известным правилам вариационного исчисления получим т дифференциальных
уравнений,, каждое из которых будет порядка 2л. Остроградский показал,
что эти дифференциальные уравнения эквивалентны некоторой группе 2тп
дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Это и
есть содержание первой части работы Остроградского*). Далее Остроградский
подробно рассматривает вопрос об интегрировании уравнений, которые
получаются таким образом, и рассматривает их свойства. Иначе говоря, он.
впервые показал, что канонические уравнения можно рассматривать как
нормальную форму, в которую может быть с помощью одних лишь
дифференцирований и исключений преобразована любая группа уравнений,.,
возникающая из вариационной проблемы**).
В формулах Остроградского, как и в формулах динамики, дифференциалы
неизвестных выражаются через вариации некоторой функции, которая' зависит
только от времени и неизвестных рассматриваемой проблемы-Общая теория,
развитая Остроградским, позволяет ему утверждать, что* его основная
формула "содержит как частный случай динамический принцип наименьшего
действия", который поэтому "нельзя рассматривать не только как принцип,
но даже как простую теорему. Он кажется нам толью* простым следствием,
очевидным результатом применения метода вариаций. к теории maxima и
minima"***).
Остроградский указывает, что анализ Лагранжа в той части его
аналитической механики, где он выводит уравнение движения из принципа
наименьшего действия вместе с законом живых сил, неточен. Остроградский
считает, что в силу применения закона живых сил между некторыми
переменными, которые Лагранж полагает независимыми, существует
зависимость-
Излагая в несколько измененном виде вывод принципа наименьшего действия
Лагранжем, Остроградский отмечает то чрезвычайно существенное
обстоятельство, что вариации дх изменяются по двум причинам: вследствие
варьирования времени t и вследствие изменения формы функции х. Первая
иричина может ввести в бх только член х dt, вторая же -горазда более
сложна и может ввести в каждую из дх несколько членов. Вводя их, мы
учитываем не зависящую от времени вариацию параметров, входящих в функцию
х. Такими параметрами являются, в частности, постоянные интегрирования, и
поэтому их вариация не должна упускаться из вида.
Эту особенность он положил в основу своей формулировки вариационных
принципов в динамике.
Касательное преобразование Софуса Ли и динамика Гамильтона-Якоби
Как ясно из предшествовавшего изложения, существует внутренняя связь
между аналитической динамикой Гамильтона-Якоби и общей теорией
преобразований. Однако только Софус Ли раскрыл эту связь и придал ей
поразительно красивую и богатую многообразными следствиями форму.
Основное в динамике Гамильтона-Якоби -это вариационный принцип, связанный
с оптико-механической аналогией, теория интегрирования кано-
*) Ту же проблему позднее исследовал Клебш.
**) См. стр. 336 настоящей книги.
***)М. В. О с т р о г р а д с к и й, см. стр. 333 настоящей книги.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
831
нических уравнений Гамильтона и уравнение в частных производных:
Гамильтона-Якоби в связи с касательным преобразованием. Внутренний смысл
всей этой математической схемы заключен в ее связи с принципом Гюйгенса,
в возможности представлять механическое движение не только в виде
перемещения тела (системы точек), но и в виде развертывания касательного
преобразования поверхностей равного действия, в глубокой связи траектории
луча с некоторой поверхностью (волновой или "действия"),, выражающей
взаимосвязанность корпускулярного и волнового аспектов движения в
механике и физике.
Однако этот глубокий смысл раскрывается полностью лишь с групповой точки
зрения. Предположим, что мы имеем две группы переменных величин и что для
Предыдущая << 1 .. 389 390 391 392 393 394 < 395 > 396 397 398 399 400 401 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed