Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
необходимо найти возможно более простую форму дифференциальных уравнений
движения. Эта форма была найдена в канонических уравнениях Гамильтона.
Затем надо установить общие законы таких преобразований этих
дифференциальных уравнений, при которых они сохраняли бы свою форму.
Такими законами оказались канонические преобразования и теория важнейших
их инвариантов. Наконец, надо развить собственно теорию интегрирования
систем канонических уравнений. Решение этой задачи привело к установлению
и интегрированию уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби.
Первое систематическое изложение этих вопросов дал К. Якоби в своих
замечательных "Лекциях по динамике".
Установить единое правило для строгого решения дифференциального
уравнения Гамильтона-Якоби невозможно. Однако во многих случаях можно
найти решение благодаря теореме о том, что S представляет сумму функций,
каждая из которых в отдельности зависит от координаты q(и, кроме
*) С. G. J. Jacobi, Gesam. Werke, Bd. 4, стр. 173.
828
Л. С. ПОЛАК
того, от постоянных интегрирования af):
S = Sx (q±) + . . . + Sf (qf). Тогда уравнение в частных производных
(45>
распадается на / обыкновенных дифференциальных уравнений
М-Ц-'
или, разрешая их,
Wk у \
Эи - Рк (Як, ак) ¦
В этом случае говорят, что уравнение (45) решается разделением
переменных.
В той форме, которую придал Якоби принципу наименьшего действия, связь
его с законом живых сил видна еще более резко, чем у Лагранжа ~ В оценке
принципа в той.форме, в которой время исключено, а именно
Якоби также во многом очень близок Лагранжу. Он говорит, что "трудно'
найти метафизическую причину для принципа наименьшего действия, когда он,
как это необходимо, выражен в этой истинной форме (46)"*).
Значение принципа наименьшего действия, по мнению Якоби, состоит, "во-
первых, в той форме, которую он придает дифференциальным уравнениям
движения, во-вторых, в том, что он дает функцию, которая обращается в
минимум, когда удовлетворяются эти дифференциальные уравнения. Хотя такой
минимум существует во всех задачах, но, как правило, неизвестно, где его
искать. Поэтому в то время, как самое интересное в этом принципе то, что
вообще можно получить минимум, раньше придавали преувеличенное значение
тому, что такой минимум существует"**).
Якоби указывает далее, что принципу наименьшего действия должно быть
поставлено еще одно важное ограничение. Оно состоит в том, что минимум
имеет место не между двумя любыми положениями системы, но только в тех
случаях, когда конечное и начальное положения достаточно близки друг
другу.
Что же касается механического значения принципа наименьшего действия, то
оно, по мнению Якоби, состоит в том, что в нем заключаются основные
уравнения динамики в том случае, когда имеет место принцип живой силы.
Переходя к принципу Гамильтона, Якоби отмечает, что из него можно
получить уравнения движения более простым способом, чем из принципа
наименьшего действия. Кроме того, этот принцип более общий, чем принцип
наименьшего действия, поскольку входящая в него силовая функция может
содержать в явном виде также и время t. В формулировке же, данной Якоби
принципу наименьшего действия, время исключено с помощью
д Jf2([/ + ft) 2m,dsJ = О,
(46>
*) К. Якоби, см. стр. 297, 298 настоящей книги.
**) Там же.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
829
закона живых сил, предполагающего, что силовая функция не содержит явно
времени.
В 1834 г. Якоби введено понятие о последнем множителе.
Пусть дана система дифференциальных уравнений
dxl dx2 __ dxn dx .
- XT " ' ' ' - "х7 - ~Х ' ''
Предположим, что известны п - 1 интегралов этой системы и пусть эти
интегралы будут
fr (^11 ^-2 у • • • " Хп , х) йг (г = 1,2, ...,п 1).
При помощи этих интегралов выразим хх, х2, , хп^х как
функции от
,хп и х. Тогда останется еще проинтегрировать лишь одно уравнение первого
порядка :
* dxn______ dx
Хп '
где величины xv х2, ..., хп_х выражены через хп и х.
Интеграл этого уравнения будет J (.X' dxn - Xf, dx) = const, где M - одно
из решений уравнений в частных производных
ткг ("*!> +TS7 <M*"> + • • ¦ +Т5Г(МХ-> + V<М*> - о •
а Л - якобиан
3 (/i I /г " • • • > /п-х)
3 (Хх , Х8 , ... , Xn i)
-Функция М называется последним множителем.
С середины XIX в. начинается интенсивная разработка всего сложного круга
механических, математических и физических идей, связанных с вариационными
принципами механики, с теорией Гамильтона-Якоби, с учением о
преобразованиях.
Подробное рассмотрение всех относящихся сюда работ представляет,
собственно говоря, уже задачу истории вариационного исчисления или
истории'аналитической динамики в целом. Мы же рассмотрим лишь f е из них,
которые в той или иной степени существенно обогатили, развили и углубили
понимание вариационных принципов механики, прежде всего с математической
точки зрения. Первое место по праву принадлежит здесь замечательному
русскому математику М. В. Остроградскому.
Применяя принцип, сформулированный им в 1834--1835 гг., Гамильтон исходил
