Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
' Согласно Гамильтону функция
дважды, как функция от qoi и qn удовлетворяет некоторому
дифференциальному уравнению в частных производных
Якоби показал, исходя из этого, что если найдено какое-нибудь общее
решение (38), т. е. решение с п - 1 произвольными постоянными, то этого
достаточно для того, чтобы с помощью такого полного решения можно было
получить траекторию проблемы в проинтегрированной форме.
Действительно, если имеется такое решение
V=V (qt, qoi ,W = S У(Н + U) 2 dq, dq, ,
(37)
из которой с помощью
можно получить импульсы, в силу соотношения
н (qt, Рд = т- и = л
(38а)
(38b)
V=V(qt,clt c"_j),
(39)
то достаточно написать :
Э V ду дqt ' дсг
(40)
*) У. Р. Гамильтон, Письмо к де Моргану от 18 февраля 1842 г. Цит-но G.
Graves.
"26
Л. С. ПОЛАК
Число постоянных с и а, т. е. 2п - 2, является как раз тем числом
произвольных постоянных, которое необходимо для определения всех
траекторий в пространстве, число измерений которого снижено благодаря
соотношению Н + h = 0 до 2п - 1.
Эта связь между дифференциальными уравнениями динамики и
дифференциальными уравнениями в частных производных относится к общей
теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка,
где она и была открыта Коши в 1819 г. задолго до Якоби. После того как
Якоби самостоятельно подметил и изучил эту связь, он получил общую теорию
интегрирования дифференциальных уравнений динамики. Метод состоит в том,
что вместо непосредственного исследования основных уравнений динамики
ищут достаточно общее решение гамильтоновых уравнений в частных
производных, из которого интегрирование первых получается, так сказать,
само сабой.
Общий вид и обоснование этой теории и дал Якоби. В функции S или V,
исследованные Гамильтоном, входят константы - начальные координаты (а в S
также и энергия). Якоби показал, что это ограничение необязательно и что
вместо (38а) или (38Ь) необходимо только одно уравнение, а именно:
Якоби указывает, что случай, когда одновременно имеют место закон живых
сил и принцип наименьшего действия, очень важен : "Гамильтон заметил, что
в этом случае задача может быть сведена к нелинейному дифференциальному
уравнению в частных производных первого порядка. Если •найдено одно его
полное решение, то получаются все интегральные уравнения. Функцию,
определенную этим дифференциальным уравнением, Гамильтон называет
характеристической.
Прекрасное соотношение, найденное Гамильтоном, было несколько недоступно
и туманно вследствие того, что он свою характеристическую функцию
заставил зависеть еще от второго дифференциального уравнения в частных
производных. Присоединение этого условия усложняет ненужным образом все
открытие, так как более точное исследование показывает, что второе
дифференциальное уравнение в частных производных совершенно излишне"*).
Для уравнения (42) Якоби доказал, что можно рассматривать любой полный
интеграл этого уравнения, т. е. интеграл, содержащий столько произвольных
постоянных, сколько имеется независимых переменных.
Можно показать, обозначив через аг (г = 1,2,...,") п постоянных
интегрирования, что система движется таким путем, что производные V по аг
с течением времени не изменяются, т. е.
где /?г - новые произвольные постоянные. Это выражение иногда называют
теоремой Якоби ; оно содержит 2п постоянных аг и /?г. Импульсы в любой
точке траектории могут быть вычислены из формул
(41)
или
(42)
*) К. Якоби, Лекции по динамике, ОНТИ, Л.-М., 1936, стр. 6.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
827
..Аналогично для (41), где аг(г = 1,2, ,п - 1), получим уравнение
9S о -8^ = ^'
которое содержит (2п - 1) произвольных постоянных ап /3,, Е. Импульсы
находятся из
8S
Якоби рассматривал только ту форму функций действия, которая основана на
функции У, и ограничился прямоугольными координатами. Якоби критиковал
Гамильтона за то, что тот не пришел прямо к общей форме теории :
"Я поэтому не знаю, почему Гамильтон для того, чтобы быть в состоянии
указать общие интегралы выше приведенных дифференциальных уравнений,
требует введения функции У от 6л 4- 1 переменных, а именно Зп величин
•*/> Уь Зп величин ah ф, с( и величины t, которая удовлетворяет
одновременно двум уравнениям в частных производных первого порядка :
ЭУ
~ы
(43)
в то время как мы показали, что совершенно достаточно знать некоторую
функцию 3п + 1 величин t, х" у,-, z" которая удовлетворяет одному
уравнению
#+w(r)'+га1+(-?)*]-<' <44>
и содержит, кроме постоянной, прибавляемой к У, также Зп других
произвольных постоянных"*).
После того как дифференциальные уравнения движения написаны на основании
вариационного принципа Гамильтона, возникает вопрос об их ¦фактической
интеграции. Для этой цели Гамильтоном и Якоби систематически развита
специальная теория. Эта теория имела особое значение для небесной
механики и для классической теории атома Бора-Зоммерфельда. Построение
этой теории заключает в себе три последовательных этапа. Прежде всего
