Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
избавиться от этой вспомогательной константы и ввести взамен ее время,
сделали метод более обширным, чем он был"***). В дальнейшем функция S
становится основной функцией Гамильтона. Уже в конце своей первой статьи
Гамильтон помещает краткую главу под названием "General Introduction of
the Time into the Expression of the Characteristic Function in any
Dynamical Problem" ("Введение времени в общем виде в выражение
характеристической функции в любой задаче динамики").
Функция S связана с функцией У уравнением
или, что то же самое, новая главная функция S определена уравнением
где первые три уравнения дают промежуточные, а вторые три - конечные
интегралы. Функция S удовлетворяет двум уравнениям в частных производных
:
которые, если они могут быть проинтегрированы, дадут S как функцию х, у,
z, х0, у0, z0, t и таким образом определится движение системы.
Как показал Якоби, на самом деле достаточно одного уравнения.
V = tH + S
.(27)
t t
S = §(Т+ U)dt = § Ldt,
(28)
0
0
где
S = S (x,, Xqi , 0 ,
в то время как
У=У(х(, xm, H).
Выражение для вариации S будет таково :
dS = -Я dt + m 2 Xi - m2 xoi dxoi,
(29)
что эквивалентно системе
(30)
(31)
*) Там же, стр. 252.
**) У. Р. Г а мильтон, Письмо Дж. Гершелю от 17 марта 1834 г. Цит. по Q.
Graves.
***) Там же.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
821
В этой же работе Гамильтон выводит уравнения, получившие название
канонических уравнений Гамильтона.
Еще в 1809 г. Пуассон ввел функцию Z QiPi- Т, рассматриваемую как
i
функцию qj и ph и вывел половину гамильтоновых уравнений*).
Лагранж в 1809 г., рассматривая варьирование элементов орбит, установил
систему уравнений в гамильтоновой форме, в которую вместо функции Я
входила пертурбационная функция R**).
Во втором издании "Аналитической механики" Лагранж приводит следующие
уравнения :
ddi 9R dSi 9R
ИГ ~ ~ ~dSi ' ' dT - '
" 9 Т
где at -- начальные значения координат, S, - начальные значения = р,.
Это - простейший пример системы канонических элементов.
Возьмем консервативную механическую систему, имеющую п степеней свободы и
находящуюся в постоянном консервативном поле сил. Ее движение может быть
выражено дифференциальными уравнениями различной формы. Среди них
уравнения, введенные Гамильтоном, имеют прежде всего преимущество
симметрии. В гамильтоновом методе состояние механической системы с п
степенями свободы определяется п координатами qh которые фиксируют
конфигурацию системы и п соответствующих импульсов р;.
Координаты qt могут быть выбраны различными путями, в частном случае это
могут быть декартовы координаты х, у, г, цилиндрические или сферические
координаты. Во всех случаях всякое изменение qt вызывает изменение р;.
В консервативном поле имеем :
Т = U + const
в течение действительного движения. Т определяется п значениями qt и п
значениями ри a U - только п значениями q,. Отсюда видно, что полная
энергия системы будет выражаться некоторой комбинацией из п координат qi
и п моментов р,. Такое выражение полной энергии называется гамильтоновой
функцией и обозначается H(qh pi). Построение гамильтоновой функции для
данной механической системы не вызывает затруднений. Точный вид этой
функции зависит, однако, от особенностей как рассматриваемой механической
системы, так и поля, в котором она движется, а следовательно, и от выбора
п координат qt.
Удачный выбор qj может сильно облегчить решение задачи ; в особенности
просто решается динамическая проблема, если можно выбрать п координат q(
так, что Я будет функцией только р(.
Для консервативной системы с п степенями свободы движение выражается 2п
дифференциальными уравнениями первого порядка простого вида :
9 н . э н ,опЧ
(1' dpi ' р' ~ 9щ ¦ ( ^
*) S. D. Р о i s s о п, Memoire sur la variation de constantes
arbitraires dans les questions de Mecanique, Journ. de ГЁсо1е Polytechn.,
т. 8, 1809, стр. 266-344.
**) L a gr a n ge, Seconde MSmoire sur la variation des constantes
arbitraires dans les problemes de M6canique, dans lequel on simplifie
l'application des formules gёnёrales k ses problemes, Мёт. Inst., 1809,
стр. 343-352; Oeuvres, т. 6, стр. 809 и след.
Уравнения Гамильтона пишутся в такой форме только для консервативных
систем, и в таком виде они неприменимы в случае полей, не имеющих
потенциала, и в случае неголономных связей.
В физике уравнения Гамильтона в форме (32) играют первостепенную роль, в
частности в статистической и в квантовой механике.
Значение гамильтоновой функции Я как для классической, так и для
квантовой механики прекрасно выразил Дирак. Рассмотрев вид этой функции и
ту форму, которую она принимает для квантово-механических задач, он
пишет: "Мы теперь в состоянии получить все, что требуется для любой
механической системы, для которой известна гамильтонова функция Я,
выраженная через q и р, быть может, зависящая также явно и от f"*).
Таким образом, задание Я полностью определяет и притом однозначно
поведение классической системы. Что же касается соотношения функции Я для
