Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
комбинацию сред, т. е.
У = У (х, у, z, х', у', z', х) ¦
Если нормальная волновая скорость со задана как функция а, /?, у
(направляющих косинусов нормали к волновой поверхности) и х, у, z, х, то
У может быть легко определено. Уравнение волны, имевшей в момент времени
t = О координаты х', у', z', будет
У(х, у, z, х', /, г', х) = t.
Если зта волна проходит путь х + дх, у + ду, z + dz за время t -f df, то
*) S. Li е, Die St6rungstheorie und die Berflhrungstransformation, Arch,
for Math, of Nat. W id., т. 2, Knstiania, 1877. См. также стр. 404
настоящей книги.
**)Ф. Клейн, Лекции о развитии математики в XIX столетии, ч. 1,
Гостехиздат, 19" 7, стр. 241.
***) W. R. Hamilton, Third Supplement to an Essay on the Theory of
Systems of Rays, Math. Pap., т. 1, стр. 277. "Нормальная медленность"
равна обратной скорости.
**¦*) В. Г е йз е н б е р г, Э. Шредингер, П. Дирак, Современная
квантовая механика, Гостехиздат, 1934, стр. 41-60.
**¦**) Там же, стр. 45-46.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
815
dV a dV jS dV у ^
и т. д. С другой стороны, очевидно, что
2 а дх - со 8t,
а следовательно,
Эх со ' Эу со ' Эг со
Вспоминая, что а2 +/?2 + у2 = 1, возводя уравнения (16) в квадрат и
складывая их, получим:
Ш'Ч^Г+ШГ'-i- <17>
Выясним волновой смысл величин аь которые были определены уравнениями
эк
Эх; а''
Величины ст,- пропорциональны направляющим косинусам нормали к волне, для
которой V = const и которая имеет своим уравнением
д V = <т,- <5х,- = 0.
Положим
1
-Т7--- = со .
i
Тогда направляющие косинусы выразятся произведением at со и со будет
нормальной скоростью, потому что бесконечно малое время 6V, в течение
которого волна распространяется по нормали на бесконечно малое расстояние
81 от точки х,- до точки х,- + ст,- со 81, будет равно
8 V = V а, а, со 81 =1 v со 81 (ст,)2 = . (18)
Следовательно, ст, можно назвать компонентами нормальной медленности.
Отсюда легко выводится основное уравнение теории систем лучей Гамильтона.
Оптика лучей основывается на уравнении, имеющем в прямоугольных
координатах вид
д-|-ИГ-7(М=°. <19>
которое является дифференциальным уравнением в частных производных
первого порядка второй степени. В физической оптике, охватывающей явления
интерференции и дифракции, основным будет уравнение
<*>
которое является дифференциальным уравнением второго порядка первой
степени. Различие между этими фундаментальными уравнениями, таким
образом, весьма велико. Однако, как известно, последнее уравнение
переходит в первое в предельном случае бесконечно малой длины волны,
выражая тем самым переход физической оптики в геометрическую.
Итак, Гамильтон показал, что геометрическая оптика сводится к одному и
тому же аналитическому аппарату, независимо от того, пользуемся мы
в физической оптике волновыми или корпускулярными представлениями.
Геометрическая оптика есть предельный случай физической оптики. Картины
корпускулярная и волновая, вообще говоря, существенно различны, но при
исследовании геометрических свойств оптического луча приводят к одним и
тем же результатам. Луч может быть истолкован и как нормаль к некоторой
волновой поверхности, и как траектория потока световых частиц.
Математический формализм теории и в том, и в другом случае один и тот же.
Уже в этом заключена идея оптико-механической аналогии.
Как мы видели, обобщая принцип Ферма, Гамильтон рассматривал v не только
как функцию координат точки х, и %, но и как функцию от а, (направляющих
косинусов луча по отношению к некоторой особой системе осей кристалла).
Это дало ему возможность подойти к проблеме распространения света в
двухосных кристаллах. Исследуя волновую поверхность в двухосных
кристаллах, Гамильтон дал ясную картину ее геометрической формы и открыл
существование четырех плоскостей, касающихся ее вдоль конических сечений.
22 октября 1832 г. Гамильтон представил Ирландской Академии третье
добавление к своей "Теории систем лучей". В нем было теоретически
предсказано существование внешней и внутренней конической рефракции.
Гамильтон немедленно по получении этого результата написал своему Другу
Г. Ллойду, прося его осуществить соответствующие опыты. После больших
затруднений и неудач Ллойду удалось обнаружить предсказанные Гамильтоном
явления. 14 декабря того же года Ллойд сообщил Гамильтону запиской, что
он, наконец, нашел коническую рефракцию на кристаллах арагонита.
Работы Гамильтона по теории систем лучей остались мало известными на
континенте. Одной из основных причин этого является то, что
"Transactions" Ирландской Академии в Германии, Франции и России являлся
редким и малодоступным журналом. Неумелая и запутанная форма изложения
этих работ Гамильтона также не способствовала их распространению. Только
постепенно идеи, заключенные в этих работах Гамильтона, становятся
известными. В Англии Максвелл*), а в Германии Брунс**) и Ф. Клейн***) в
той или иной степени, в связи с работами Гамильтона, продолжали развивать
