Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 385

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 379 380 381 382 383 384 < 385 > 386 387 388 389 390 391 .. 461 >> Следующая

нибудь иным, или же, по крайней мере, имеет то, что на языке специалистов
называется вариацией, равной нулю"***).
Мы видим, что Гамильтон рассматривает вводимую им функцию как результат
индукции в оптической науке. Эта функция охватывает всю геометрическую
оптику. Но важно и другое. Гамильтон уже здесь отмечает в общем виде
родство принципа Ферма и принципа наименьшего действия. Конечно, отсюда
еще довольно далеко до построения такой математической схемы, в которой
оптика лучей совпала бы с механикой материальной точки. Здесь еще нет
ничего принципиально нового, ибо родство принципа Ферма и принципа
наименьшего действия отмечалось и ранее. Лишь в последующее время, когда
в разработанной Гамильтоном математической теории совпадут формы
уравнений лучевой оптики и механики, определится то, что мы называем
оптико-механической аналогией. Но уже в 1827 г. Гамильтон прекрасно
*) W. R. Hamilton, On a View of Mathematical Optics, Brit. Assos. of the
Advanc. ¦of Sc. Rep., 1831-1832, стр. 545-547 ; Math. Pap., т. 1, стр.
295-297.
**) У. P. Гамильтон, Сообщение о теории систем лучей, представленное
23/IV •1827 г. Королевской Ирландской Академии. См. Graves.
***) Там же.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ gj]
сознает математическую новизну своего метода, подчеркивая, что благодаря
этому методу "математическая оптика представляется... в совершенно новом
виде, аналогичном тому, в каком Декарт представил применение алгебры к
геометрии"*).
Рассмотрим теперь математический метод Гамильтона, с помощью которого он
исследовал законы систем лучей.
Если свет проходит через среду, оптическая плотность которой непрерывно
изменяется (например земная атмосфера), то траектория луча будет кривой
линией. Для определения этой линии надо, согласно правилам вариационного
исчисления, исследовать вариацию интеграла J v ds, где v - преломляющая
сила среды, a ds - элемент траектории ; пределы интегрирования
фиксированы. Имеем:
б f (v ds) = j" б (г; ds) = v Д' а, бх, - v0 Д' а0, бх0, +
+ $r\^ds + dv^}dXi' 0)
где ", - косинусы углов, которые направления луча образуют с осями в
конечном положении, а0( - те же величины в начальном положении. Поскольку
конечные положения фиксированы, то интегралы в правой части (1)
обращаются в нуль.
Покажем, что лучи перпендикулярны к некоторым поверхностям (волновым
поверхностям), для которых J vds равен некоторой определенной величине.
Лучи исходят из одной точки или поверхности перпендикулярно к ней, и
поэтому второй член в правой части (1) исчезает.
Тогда
б Г v ds = v 2.' а,- бх,. (2)
J !
Положим вариацию (2) равной нулю, т. е. интеграл равным некоторой
постоянной величине; тогда
2J щ бх, = 0,
i
что и доказывает, что траектория искривленного луча пересекает упомянутую
поверхность под прямым углом.
Обозначим J vds = V для точки х,- и траектории в среде со скоростью v ;
тогда косинусы а, определяются уравнениями
1 'dV /о\
а, = - -Q-- . (о)
1 v dxi х
Здесь V - характеристическая функция Гамильтона, при помощи которой можно
вывести все свойства системы лучей, если нам известен вид функции v.
Заметив, что 2 а1 = 1, из уравнения (3) легко получить :
(
дУ
тг- <"
Этой функцией Гамильтон и пользуется во всех своих последующих работах по
оптике.
Найденный результат в виде соотношения (2) Гамильтон называет принципом
постоянного действия (principle of Constant Action). Название это выбрано
им из двух соображений: во-первых, для того, чтобы "отметить
*) У. Р. Гамильтон, Сообщение о теории систем лучей, представленное 23/IV
1827 г. Королевской Ирландской Академии. См. Graves.
812
Л. С. ПОЛАК
связь с известным законом наименьшего действия", и, во-вторых, "потому
что он (принцип постоянного действия. - Л. П.) дает непосредственно
дифференциальное уравнение того важного класса поверхностей, которые
согласно гипотезе колебаний называются волнами, а согласно гипотезе
испускания частиц могут быть названы поверхностями постоянного
действия"*).
В этом же добавлении Гамильтон формулирует основной закон:
д $ vds = 2'-;J Зх,- (5)
и показывает, что соотношение (5) приводит к следующим общим уравне-
ниям луча :
tlds = d^ (/=Ь2,3), (6)
причем два уравнения (6) определяют третье уравнение.
Эти уравнения непосредственно связаны с уравнениями динамики в
форме Лагранжа. В самом деле, заметив, что а, - и обозначив-^- -х),
найдем :
d 9у dv р.
Ts~ Эх; 9^7' V'
где V = v(Xj, x'l).
Это уравнение имеет ту же форму, что и известные уравнения динамики
Лагранжа второго рода, которые являются необходимым условием для
существования экстремума интеграла принципа. Гамильтона-Остроградского.
Таким образом, уже здесь отчетливо видна связь развиваемой Гамильтоном
математической теории систем лучей с механикой.
В третьем добавлении теория характеристической функции достигает большой
общности. Здесь v является уже функцией начальных и конечных координат и
цветового индекса (Chromatic index), т. е., частоты:
v = v (х,, х0,, х) ¦ (8а>
Предыдущая << 1 .. 379 380 381 382 383 384 < 385 > 386 387 388 389 390 391 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed