Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
же особенностей его таланта деятельность его направлялась не по линии
конструктивно-экспериментальной, а по линии теоретико-математической
разработки тех или иных оптических проблем, непосредственно или в
конечном счете имевших важное практическое значение. Что Гамильтон имел в
виду практические интересы, видно из того, какие лучи рассматриваются им
в его основной оптической работе "Теория систем лучей". Клейн говорит по
этому поводу: "Гамильтон первоначально исходил'в своих исследованиях
систем лучей из практических запросов оптического приборостроения.
Поэтому он рассматривал только такие световые волны, которые исходят из
отдельных точек"**).
Как мы уже отмечали выше, Гамильтон считал, что дедуктивная наука должна
развиваться, отправляясь от некоторого обобщения опытных данных. Это
обобщение должно характеризовать некоторое наиболее общее, типичное
свойство рассматриваемого круга явлений. Соотношение, которое Гамильтон
кладет в основу своего исследования, - это принцип Ферма.
Опыт показывает, говорит Г амильтон, что во всех случаях, когда мы имеем
дело с распространением света в каких-либо средах при самых разнообразных
условиях, траектория луча оказывается подчиненной одному основному
соотношению. Это соотношение гласит, что путь распространения света от
"одной точки к другой всегда оказывается таким, что если его сравнить с
другими бесконечно близкими линиями, при помощи которых могут быть
соединены эти точки в мысли и в геометрии, то некоторый интеграл, или
сумма, называемый часто "действие" и зависящий по определенным правилам
от длины и положения траектории и среды, в которой распространяется свет,
меньше всех подобных интегралов для других соседних линий"***).
Центральная идея этого метода - идея характеристической функции для
каждой оптической системы лучей. Это характеристическое соотношение,
различное для различных систем, таково, что геометрические свойства
*) "On the Effect of Aberration in Prismatic Interference", "The
Auxiliary Function for Two Thin Lenses Close'together in Vacuo and for a
single Thin Lense in Vacuo"; "The aberration of an Optical Instrument of
Revolution"; "Two letters to Professor Phillips on the Construction of
Object Glasses"; "On the Impruvement of the Double Achromatic Object
Glass" и т. д.
**) F. К 1 e i n, Uber neuere englische Arbeiten zur Mechanik, Gesamm.
Mathem. Ab-handl., т. 2, Springer, 1922, стр. 601-602. См. стр. 513
настоящей книги.
***) W. R. Hamilton, On a general Method of Expressing the Paths of Light
and the Planets..., Math. Pap., т. 1, стр. 613.
¦810
Л. С. ПОЛАК
системы могут быть выведены из него методом, аналогичным тому, который
был изобретен Декартом для алгебраического решения геометрических
проблем. Все свойства оптических систем для каждой кривой или поверхности
вытекают из основного соотношения. В этой теории устанавливается связь
восьми величин, из которых шесть суть координаты двух переменных,
оптически связанных точек в пространстве, седьмая есть индекс цвета
(index of colour) и восьмая, которую Гамильтон назвал характеристической
функцией, есть "действие" между двумя переменными точками. Эта функция
называется характеристической, ибо Гамильтон нашел, что в характере
зависимости этой функции от семи названных выше величин заключены все
свойства оптической системы. Поэтому Гамильтон говорит: "Я рассматриваю
все проблемы математической оптики, относящиеся ко всем мыслимым
сочетаниям заркал, линз, кристаллов и атмосфер, как сводимые к изучению
этой характеристической функции, посредством ... фундаментальной
формулы"*).
Гамильтон отмечает, что построить общую теорию системы лучей это значит
"обобщить изучение одной системы так, чтобы можно было, не изменяя плана,
перейти к изучению других и установить общие правила и общий метод для
того, чтобы гармонично связывать между собой эти отдельные оптические
устройства"**).
Для того чтобы решить эту задачу, надо воспользоваться новой математикой,
в первую очередь аналитической геометрией Декарта. Первым применил этот
метод к геометрической оптике Малюс. Однако метод Гамильтона имеет более
общий характер. Вводя одну функцию, которая полностью характеризует
оптическую систему, Гамильтон указывает: "Функция, которую я ... полагаю
в основу своего метода дедукции в математической оптике, представлялась
прежним авторам в другой связи выражением результата весьма высокой и
обширной индукции ; она называется законом наименьшего действия, а иногда
принципом наименьшего времени и заключает в себе все, что было до сих пор
открыто относительно правил, определяющих форму и положение линий, по
которым распространяется свет, и изменений направления этих линий,
вызываемых отражением или преломлением, обычным или необычным. Некоторое
количество, являющееся в одной теории действием, а в другой - временем,
затрачиваемое при переходе от любой одной точки к любой другой,
оказывается меньшим, если свет идет своим фактическим путем, а не каким-
