Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 375

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 369 370 371 372 373 374 < 375 > 376 377 378 379 380 381 .. 461 >> Следующая

зависимость между собой физическими связями) появляются в уравнениях
движения составных частей системы, а исследование Лагранжа,
рассматриваемое с математической точки зрения, есть метод исключения этих
величин из конечных уравнений. Следя за постепенным ходом этих
исключений, ум занимается вычислениями, оставляя в стороне динамические
идеи"*).
Конечно, создание такой теории предполагало достаточное развитие
математики. ((Только развитие идей и методов чистой математики дало
возможность построить математическую теорию динамики и осветить таким
образом многие истины, котбрые не могли быть открыты без математического
построения, и если мы захотим развить динамические теории других наук, мы
должны вдохновить наш ум этими динамическими истинами, так же, как
математическими методами. Создавая идеи и язык науки, которая, подобно
электричеству,имеет дело с силами и их действиями, мы должны непременно
сохранять в уме основные идеи динамической науки, чтобы при начале
развития этой науки избежать всего, способного стать в противоречие с уже
установившимися положениями и с тем, чтобы по мере прояснения наших идей
принятый нами язык мог помочь нам, а не являлся бы лишним
затруднением"**).
Для нас в этой блестящей характеристике является важным подчеркивание
основного значения математического метода для работы Лагранжа в области
механики. И действительно, в силу аналитического (и принципиально
аналитического) характера его механики подход Лагранжа к отдельным
проблемам теснейшим образом связан с его математическими работами в
различных ветвях анализа. Фурье говорит: ((...Он сводит все законы
равновесия и движения к одному принципу, и, что не менее удивительно, он
их подчиняет одному методу исчисления, изобретателем которого он сам
является"***). В самом деле, как известно, с Лагранжа начинается новая
эпоха вариационного исчисления.
Лагранж не только придал простой вид решению ранее поставленных задач,
найдя удобный алгоритм, но применил также этот новый метод к решению
целого ряда сложных проблем земной и небесной механики.
Первая его работа, посвященная принципу наименьшего действия, также
появилась на свет как развитие и приложение его математических работ по
вариационному исчислению.
В 1760-1761 гг. в ((Miscellanea Taurinensia", т. 2, Лагранж опубликовал
статью под названием ((Essai d'une nouvelle methode pour determiner les
maxima et les minima des formules integrates indefinies". Непосредственно
за ней, в том же томе, он печатает статью под характерным заглавием
((Application de la methode, exposee dans les memoires precedents a la
solution de differents problemes de Dynamique"****).
*) Maxwell, 1., A treatise on Electricity and Magnetism, т. 2, 3 ed.,
Oxford, 1892, §564, стр. 199-200.
**) Там же, § 567, стр. 210.
***) Цит. по книге R е b i ё г е, Mathdmatique et mathdmaticiens, стр.
129.
****)См. стр. 117 настоящей книги.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
797
Лагранж ссылается в начале статьи на работу Эйлера "Methodus inve-niendi
lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio pro-
hlematis isoperimetrici latissimo sen' u accepti", в которой Эйлер
показал, что для случая движения в поле центральной силы траектория, по
которой движется тело, удовлетворяет требованию
[ vds = minimum.
Лагранж обобщает этот принцип и придает ему выражение
2 rrii f vt dst = minimum.
Это определение и выражает тот шаг вперед, который совершил Лагранж в
развитии принципа наименьшего действия. Он распространил принцип,
сформулированный у Эйлера для материальной точки, на случай произвольной
системы точек, связанных между собой и действующих друг на друга
совершенно произвольным образом.
Таким образом, оказывается возможным применить принцип наименьшего
действия к динамике системы. Дейетвительно, пользуясь принципом
наименьшего действия, Лагранж в своем мемуаре аналитически решает ряд
проблем динамики. Это дало повод Якоби заметить, что лагранжев принцип
наименьшего действия есть мать всей нашей аналитической механики.
По установленным в его предшествующем мемуаре правилам вариационного
исчисления Лагранж пишет, что
d2tnfjvds = Q,
а так как
<5 J (vds) = j<5 (vds),
то, преобразуя выражение
<5 (v ds) - v d ds + dv ds,
получаем :
2 m J (v 6 ds + dv ds) = 0.
Затем Лагранж вводит условие, что если р, q,r . .. - расстояния тела от
центров сил Р, Q, R , то
~ = const - J (Pdp + Q dq + Rdr + ...)
или
vdv = - d J(Pdp + Q dq + Rdr + ...) = - f (dPdp + Pddp + ...).
Таким образом, уже в самом начале исследования вводится как необходимое
условие принцип живых сил.
Этим предрешается и круг задач, рассматриваемых Лагранжем в его
сочинении.
Возвращаясь к рассмотрению общего направления этой работы, напомним, как
мы уже отметили, что само заглавие подчеркивает сугубо математический
характер этого сочинения Лагранжа. Действительно, в нем не затрагивается
ни одна из проблем, связанных с обоснованием механики. В этой работе
Предыдущая << 1 .. 369 370 371 372 373 374 < 375 > 376 377 378 379 380 381 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed