Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
убеждает нас в истинности решения,
*) Lagrange, Oeuvres, т. 13, стр. 132.
**) Там же, стр. 143.
***) Там же, стр. 135.
****) Там же, стр. 147-148.
*****) L. Euler, Recherches sur les plus grands et les plus petits qui se
trouvent dans les actions des forces, Mem. de l'Acad. des Sci. de Berlin,
т. 4 (1748), стр. 151, 1750.
792.
Jl. С. UUJ1AH
поскольку каждый из рассматриваемых методов основан на несомненных
принципах.
"Однако, - замечает Эйлер, - ... часто очень трудно найти выражение,
которое должно быть максимумом и минимумом.. ."*). Поиски такого
выражения, по мнению Эйлера, собственно говоря, принадлежат не к области
математики, а "... к метафизике, поскольку необходимо знать цель, которую
природа полагает в своих действиях"**). Метафизика же отнюдь не достигла
такой степени совершенства, чтобы для каждого действия, производимого
природой, указать то "количество действия", которое является наименьшим;
мы еще очень далеки от этого, и поэтому почти совершенно невозможно
отыскать для большого числа различных случаев формулы, которые будут
иметь максимум или минимум. Напротив, если известно решение, найденное
прямым методом, то не представляет труда угадать формулы, которые
приведут к тому же самому решению, если отыскать их максимум или минимум.
Таким образом, если нельзя вторым методом a priori находить
непосредственно законы явлений, то, зная решение, найденное прямым
методом; "... мы знаем a posteriori эти формулы, которые выражают
количество действия, и тогда не представляет более труда показать их
истинность с помощью принципов, известных в метафизике"***).
Мы видели, что по мнению Мопертюи принцип наименьшего количества действия
является универсальным законом, который в конечном счете позволяет
дедуктивным путем вывести все законы природы и в первую очередь решить
любые частные задачи механики.
В отличие от него Эйлер, начав с высказываний в том же духе, приходит к
другим выводам. Исследуя фактическое применение принципа к частным
задачам механики, Эйлер увидел, что найти выражение, которое должно быть
максимумом или минимумом, для каждой данной чйстной задачи можно только
тогда, когда уже известно решение этой задачи, проведенное исходя из
обычных общих принципов механики, формулирующих не конечные цели, а
причинно-следственные связи явлений. Таким образом, эвристическое
значение принципа оказалось ничтожным. Он не дает возможности предвидеть
или установить законы даже тех механических явлений, которые всесторонне
исследуются обычными дифференциальными уравнениями движения Ньютона. Как
также было отмечено Эйлером, универсальность принципа наименьшего
действия даже в пределах механики не является установленной и он, Эйлер,
не может сколько-нибудь уверенно оценить границы его применимости. Надо
отметить, что Эйлер совершенно не рассматривал вопроса об определении
характера варьируемых движений.
После ряда попыток Эйлер прекратил свои исследования, связанные с
принципом наименьшего действия, хотя эта область очень интересовала его
как приложение разработанных им методов отыскания кривых линий,
обладающих свойством максимума или минимума. Все это показывает, что хотя
Эйлер и не освободился полностью от влияния телеологического финализма
Мопертюи, он, однако, стремился, так сказать, математизировать принцип
наименьшего действия. Эйлер, несмотря на использование им терминологии
Мопертюи, сформулировал идеи, далеко превосходящие ограниченные и
односторонние высказывания Мопертюи. Эйлеру принадлежит первая точная и
математически плодотворная формулировка принципа наименьшего действия,
открывшая новые горизонты для подлинно научного применения.
*)Там же, стр. 151.
**) Там же, стр. 152.
* * *) Там же, стр. 152.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
793
Именно Эйлер развил в отчетливый и последовательно-стройный
математический метод те идеи, которые иначе рисковали остаться в глазах
поколений блестящей, но не слишком глубокой догадкой. В этом смысле Эйлер
является действительным основоположником научно сформулированного
принципа наименьшего действия в механике. Он придал ему научную форму, и
нужен был еще только один шаг для того, чтобы завершить полное
освобождение принципа наименьшего действия от метафизических лохмотьев и
математически обобщить его. Этот шаг был сделан Лагранжем.
Принцип наименьшего действия у Лагранжа
Научное творчество Лагранжа падает на период, непосредственно
предшествовавший Великой французской революции 1789 г., и на время самой
революции. Несмотря на то, что лично Лагранж оставался в стороне от
политических бурь, сотрясавших не только Францию, но всю Европу, он все
же в какой-то мере отразил дух этой замечательной эпохи в своем подходе к
осмыслению результатов математических исследований в механике.
Приближался исторический час, когда даже пушки, этот, по словам Ришелье,
последний довод королей, не смогли защитить то, что мешало бурному потоку
развития нового: новой техники, новых социальных отношений. Деятельность
