Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
имеют потенциал **). Таким образом, согласно Эйлеру, необходимым условием
применимости принципа наименьшего действия является подчинение системы
закону живых сил, в. то время как Мопертюи усматривал универсальность
своего принципа наименьшего количества действия именно в том, что он
имеет более общее значение, чем закон живых сил, или другие законы
механики. В то же время в той форме, которую придал Мопертюи этому
принципу, он имеет смысл только для конечных и мгновенных изменений
скорости, и поэтому из него можно получать только уравнения, связывающие
конечные величины. Эйлерова же форма принципа наименьшего действия
охватывает непрерывные движения, и из нее получаются дифференциальные
уравнения траекторий.
Работа Эйлера делает совершенно незначительной роль Мопертюи, которому,
по существу говоря, принадлежит только название принципа, да и то не
слишком удачное.
Мопертюи сам пишет : "Этот великий геометр (JI. Эйлер. - Л. П.) не только
обосновал принцип более основательно, чем это сделал я, но его взор,
более объемлющий и более проникновенный, чем мой, привел его к открытию
следствий, которых я не извлек"***).
Однако, несмотря на то, что выражение J v ds, являющееся математически
осмысленной формой принципа наименьшего действия, дано Эйлером независимо
и одновременно с работами Мопертюи, которые были математически аморфны и
не заключали в себе ядра будущего прогресса, Эйлер всегда подчеркивал
приоритет Мопертюи. Возможно, это объясняется тем, что при своей
склонности к метафизическим спекуляциям он отдавал предпочтение априорной
и кажущейся универсальной метафизической аргументации Мопертюи по
сравнению с своими результатами, найденными им, как он сам говорит, a
posteriori.
Возможно также, что неоднократное подчеркивание Эйлером приоритета
Мопертюи обусловлено в какой-то мере и его дружескими чувствами к
президенту Берлинской Академии.
Что же касается взглядов Эйлера на теологическое обоснование принципа, то
они во многом близки к взглядам Мопертюи. Математическое рассмотрение
интересующей нас проблемы не обходится у Эйлера без телеологи-
*) JI. Эйлер, см. стр. 31 настоящей книги.
**) Насколько была ясна важность этого вопроса многим ученым того
времени, видно из приводимого ниже отрывка неопубликованного письма
Лаланда.
В письме от 2/III 1753 г. (Архив АН СССР, ф. 136, оп. 2, № 3, л. 315,
316) Лаланд пишет Эйлеру : "Я прочитал с удовольствием Ваши мемуары в
защиту Мопертюи ; я хотел бы, чтобы Вами было обращено больше внимания на
то, чем принцип наименьшего действия отличается от принципа живых сил,
потому что и тот и другой оценивают действия (l'action) квадратом
скорости, предполагая время постоянным; в случае, рассмотренном в статье
Кёнига, живая сила равна нулю, ее элемент также равен нулю, точно так же
как элемент действия у Мопертюи, так что здесь нет никакой разницы между
ними. С другой стороны, кажется, что Кёниг находится в согласии с Вами,
когда он говорит, что "если полный элемент живой силы делается равным
нулю, то имеет место равновесие", это означает не что иное, как то, что
живая сила есть минимум...".
***) Maupertuis, Lettres, Lettre XI sur ce qui s'est pass? a l'occasion
du principe de la moindre quantit? d'action, Oeuvres, т. 2, Lyon, 1768,
стр. 281.
790
Л. С. ПОЛАК
ческих, метафизических соображений. Эти соображения не играют никакой
роли в разработке метода минимумов и максимумов в целом и в решении
конкретных задач статики и динамики.
В процессе развития вариационных принципов и методов телеологические
аргументы и идеи постепенно естественно отпадают, так как им нет места в
подлинно научном знании..Уже Эйлер убедился в том, что каузальное
объяснение совсем не эквивалентно телеологическому описанию явлений, но
имеет перед последним то очевидное преимущество, что любая проблема
механики может быть решена без помощи принципа наименьшего действия, в то
время как применение последнего требует при рассмотрении конкретных задач
предварительного знания их решения.
Эйлер, поддерживавший Мопертюи во время известной дискуссии, сначала
пользуется прямо телеологической аргументацией для обоснования принципа,
но, в конце концов, приходит к выводам, по существу говоря лишающим
принцип столь дорогого для Мопертюи божественного ореола.
Указав, что метод, развитый им для исследования движения в поле
центральных сил, может быть применен к задаче о нахождении условий
равновесия механических систем, Эйлер усматривает обоснование такой
возможности в аргументах, доказательная сила которых ему самому
представляется недостаточной :
"... Так как тела в силу инерции сопротивляются всякому изменению
состояния, то они, если только будут свободны, будут насколько возможно
меньше подчиняться действующим силам ; отсюда вытекает, что в порожденном
движении эффект, произведенный силами, должен быть меньшим, чем если бы
тела двигались каким-либо иным способом. Хотя сила этого рассуждения еще
