Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 369

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 363 364 365 366 367 368 < 369 > 370 371 372 373 374 375 .. 461 >> Следующая

некоторым свойством максимума или минимума. Первой задачей такого рода
была задача, приведенная Ньютоном в его Началах (книга II, секция VII,
предложение 34): какую форму надо придать твердому телу вращения,
движущемуся вокруг оси, для того, чтобы испытываемое им сопротивление
было наименьшим? Решение задачи он привел без указания способа, которым
оно было найдено.
В 1696 г. в июньской книге лейпцигского журнала "Acta Eruditorum" (стр.
264) И. Бернулли опубликовал заметку "Problema novum, ad cujus solu-
tionum Mathematici invitantur" **) ("Новая задача, к разрешению которой
приглашаются математики"). Это была знаменитая задача о брахистохроне
*) П. Ферма, см. стр. 7 настоящей книги.
**) И. Бернулли, см. стр. 11 настоящей книги.
788
Л. С. ПОЛАК
скорость в элементе пути. Вся кривая может быть брахистохроной, хотя
каждый элемент ее и не обнаруживает этого свойства. Это означает, что
принцип Якова Бернулли не является универсальным.
В 1697 г. И. Бернулли была поставлена еще одна задача на отыскание
минимума. Эта задача состояла в проведении кратчайшей линии между двумя
заданными точками на произвольной поверхности. Первые исследования этой
задачи были выполнены Лейбницем и Яковом Бернулли, но наиболее важный
результат был найден самим И. Бернулли. Он показал, что в любой точке
кратчайшей-линии соприкасающаяся плоскость перпендикулярна к касательной
плоскости к поверхности, что, как известно, есть основное свойство
геодезических линий. Понимая всю важность задачи о геодезических линиях,
И. Бернулли хотя и не опубликовал сразу найденный результат (он сообщил
его в конце 1728 г. Упсальскому профессору Клингенштерну, а напечатаны
его работы о геодезических линиях были лишь в 1742 г.), но предложил
заняться этой задачей своему ученику J1. Эйлеру. Эйлер, которому тогда
был 21 год, но который уже тогда "вычислял без какого-либо видимого
усилия,,как человек дышит, как орлы поддерживают себя в потоке воздуха"
(Араго), напечатал в 1728 г. статью "De linea brevissima in superficie
quaqunque duo quaelibet puncta iungente", в которой он дал общее решение
поставленной задачи. Четыре года спустя Эйлер опубликовал мемуар
"Problematis isoperimetrici in latissimo sensu accepti solutio
generalis", в котором изопериметрическая задача была сформулирована в
общем виде. Затем во втором томе сочинения "Mecanica sive motus scientia
analytice exposita", вышедшем в 1736 г., Эйлер снова занялся
исследованием геодезических линий и решил изопериметрическую задачу о
брахистохроне заданной длины. Наконец, в 1744 г. отдельным изданием вышел
трактат, в котором Эйлер собрал почти все свои исследования предыдущих
лет, посвященные этим проблемам.
В письме от 28 января 1741 г. Даниил Бернулли спрашивал Эйлера, может ли
он решить проблему центральных сил методом изопериметров. Эйлер нашел
решение этой задачи в марте 1743 г. В 1744 г. оно было опубликовано им в
приложении "Об определении движения брошенных тел в несо-противляющейся
среде методом максимумов и минимумов" к знаменитой книге "Метод
нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума,
или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле".
Эйлеру, как правильно указывает Серре*), принадлежит исторически первая
отчетливая идея математического содержания, которое вкладывается наукой в
принцип наименьшего действия. Именно Эйлер в 1744 г. в указанном
приложении показал, что для траекторий, описываемых под действием
центральных сил, интеграл f vds, где v - скорость, всегда равен минимуму
или максимуму. Эйлер не' дал этому выражению какого-либо специального
наименования.
Математическое выражение, называемое принципом наименьшего действия, у
Эйлера естественно вытекало из его работ по отысканию кривых, обладающих
экстремальными свойствами. Однако, если геометрическая задача блестяще
решалась "методом изопериметров", то в случае механического движения
приходилось ограничиваться решением уже решенных задач (a posteriori),
так как указать из общих соображений, какая именно величина в том или
ином случае будет иметь максимум и минимум, не удавалось. Это
ограничивало сферу применения и эвристическое значение принципа
наименьшего действия у Эйлера. Еще одно ограничение универсаль-
*) J. S е г г е t, Мётоке sur le principe de la moindre action, С. R. Ac.
des Sc. 12/VI 1872, стр. 697-698.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
789
ности его характера явствовало из того, что у Эйлера он органически
связан с законом живых сил и .имеет место только там, где применим
последний.
Из выражения J vds = J v2dt видно, как заключает Эйлер, откликаясь на
споры о мере движения, что ". . . ни те, кто полагает, что силы следует
оценивать по самим скоростям, ни те, кто - по квадратам скоростей, не
найдут здесь ничего неприемлемого"*).
Этим 'замечанием Эйлера в неявном виде формулируется ограничение области
применения принципа наименьшего действия кругом проблем, в которых силы
Предыдущая << 1 .. 363 364 365 366 367 368 < 369 > 370 371 372 373 374 375 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed