Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Х^,р) = 0-+Хгр = 0.
Процесс перехода от классической к квантовой механике нельзя считать
математически строго сформулированным, так как в каждом случае, когда
классическая величина включает произведение двух величин, скобка Пуассона
которых не равна нулю, возникает неоднозначность в определении
последовательности, в которой эти сомножители войдут в соответственное
квантовое выражение. Практически в простых примерах такой вопрос не
возникает. В более же сложных выражениях бывает невозможно выбрать
последовательность сомножителей так, чтобы не нарушалась совместность
квантовых уравнений. В настоящее время методы квантования представляют
собой набор практических рецептов, применение которых диктуется главным
образом соображениями простоты. Существуют обстоятельства, на которые
следует обращать внимание при переходе к квантовой механике, чтобы не
нарушить совместность квантовых соотношений. В классической теории мы
имеем ряд Ф-уравнений (^-уравнения также считаются за Ф-уравнения),
используемых в квантовой теории в соответствии с принципом II). При
720
П. ДИРАК
преобразовании Ф, аналогичном преобразованию классических величин (27),
коэффициенты у должны всегда стоять слева от Ф. Общее выражение для Ф в
квантовой теории является линейной функцией от данных Ф с коэффициентом у
слева от Ф.
Из двух квантовых уравнений, полученных из Ф-уравнений согласно II,
Заключаем отсюда, что если переход к квантовой теории возможен, все Ф
должны быть первого класса.
Классическую теорию с Ф второго класса можно проквантовать, применяя
преобразования, примененные в п. 8, переводящие все Ф^-уравнения в
сильные равенства. Сильные уравнения соответствуют в квантовой теории
уравнениям, выражающим одни операторы через другие.
Квантовые уравнения Фхр = 0, полученные применением принципа II к Ф-
уравнениям первого класса, являются волновыми уравнениями Шредингера.
Обычная классическая динамика с одним Ф первого класса приводит к одному
уравнению Шредингера. В обобщенной теории каждому классическому
свободному движению ставится в соответствие уравнение Шредингера.
Операторы, входящие в эти уравнения; соответствуют классическим
динамическим переменным для некоторого значения т.
Операторы, соответствующие разным т, принадлежат к разным алгебраическим
системам. По-видимому, квантовая теория не содержит какого-либо аналога
зависимости от классических переменных. Однако зависимость классических
величин от t, описанная уравнением (48), имеет квантовый аналог в случае,
если классические С. П. [ta, ta-] = 0 при а-/- а' и, следовательно,
соответствующие операторы квантовой теории могут принимать одновременно
численные значения [237]. Этому требованию удовлетворяет ряд систем t,
введенных в различных формах релятивистской динамики, рассмотренных в п.
10. Уравнения (48) нельзя непосредственно проквантовать, потому что, как
легко проверить, соответствующие квантовые уравнения не будут инвариантны
относительно общих преобразований (27). Приведем уравнение (48) к
стандартному виду. Преобразование (27) вводит новую систему Ф, именно Фа,
находящуюся в однозначном соответствии с системой ta, таким образом, что
[tat Фа' ] =
При этом уравнение (48) приводится к виду
(55)
(56)
Проквантовав эти уравнения, мы получим квантовые уравнения в
представлении Гейзенберга для обобщенной динамики.
ОБОБЩЕННАЯ ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА
721
Приложение Доказательство тождества Пуассона для новых С. П., заданных
уравнением (36)
Различные в обозначаем индексами t, г, s, . .. Имеем, по определению:
[[flfl*, fl* = [[flfl + [fl0r] [0S, 97], С] +
+ [[А V] + [А вг] crs [0S, vl A] ctu [0ш fl =
= (Р-v)> fl + [[f,А],fl<v,[05,ч] + [ A0J [Crs,A +
+ [05, V] + [A02] [[05,fl, fl + [[A V] ,A] ctu [0", fl +
+ [ [A 0r] , 0f] Crs [05, fl [0Ц, fl +
+ [A A] [Crs, 0/] [05, V] ctu [0", fl + [A 0J [[A, Vl A] Ctu [0", fl-
(57)
Пусть оператор Z обозначает суммирование по всем циклическим
перестановкам ?, г/, К. Требуется доказать, что
2 [[A fl*,fl* = o.
Применяя Z к первому члену (57), получим нуль на основании обычного
тождества Пуассона. Е, примененный ко второму, четвертому и пятому
членам, дает на основании обычного тождества Пуассона:
2 Os [0S, V] {[ [A 0J , fl + [ [0" fl, fl + [[А fl, 02]} = О.
Применяя Е к шестому и восьмому членам (57), получаем, подвергая г, и, s,
t циклической перестановке:
Os сш 2 [05, v] [0U, fl {[ [А02], А] + [ [A, fl, А]} =
= - crs ctu 2 [05, v] [0U, fl [ [А, A], fl • (58)
Из (35) следует, что
[сщ [0,-, 0<]> fl = О
или
[Ou,fl [A,A] +Ou[[A,A],fl = 0. (59)
Еще раз пользуясь (35), приведем (58) к следующему виду:
О* [А, 0,] 2 [05, V] [0", fl [с,и, fl = 2 [0/ V\ [0И, fl [ctu, fl •
Применение Z к седьмому члену (57) дает:
[fl 0J [v, 0s] [fl 0ц]{ ctu [Os, 0<] + ctr [csu, A] -(- cts [cur, (60)
Обозначив через Zrsu суммирование по двум одновременным циклическим
перестановкам г, s, и и г', s', и', имеем :
2rsu Cr'r Cs's С и'и [ [А', 05'], 0 и] = 0 . (61)
