Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
могут рассматриваться как функции от q и q, то можно показать с помощью
(51), что L сильно равен функции, зависящей только от q и q.
718
П. ДИРАК
Эта функция должна обладать однородностью первого порядка относительно q.
Дифференцируя по q или q, имеем
Э L Э L дФа ¦
Ж - Рп ' Ж ~~Va ЖГ - Рп' ^
- обычные уравнения Лагранжа.
Если уравнение (49) вместе с Ф-уравнениями не задает q как независимые
функции от р и v, то мы получим уравнения, связывающе q и q :
Rj(q,q) = 0 (/=1,2,..., J). (53)
R - однородны относительно q, причем мы пишем их так, чтобы однород-
ность была первого порядка.
Рассуждая так же, как в п. 3, получим результат, аналогичный (9):
L^h+XjRj, (54)
где 2 зависит только от q и q и является однородной функцией первого
порядка относительно q. Величины Я;- зависят от q, р и v. В случае, если
Я независимые переменные, мы получим (52).
Тогда мы имеем L, содержащий импульсы, подобные рассмотренным в
предыдущем параграфе, и Я;, соответствующие qj предыдущего параграфа.
Равенства (53) выполняют роль дополнительных условий.
10. Приложение к релятивистской динамике
Обычная нерелятивистская динамика имеет дело с состоянием динамической
системы в определенный момент времени, заданным значениями q и р. С
помощью уравнений движения можно, зная состояние в один момент времени,
вычислить состояние в другой момент времени. Такие уравнения движения,
записанные в гамильтоновой форме с однородными скоростями, требуют только
Ф первого класса. Чтобы построить динамическую теорию, необходимо ввести
систему уравнений, допускающую наблюдателей с любыми скоростями, причем
каждому наблюдателю ставится в соответствие момент времени. Под моментом
мы подразумевали трехмерную гиперплоскость в. пространстве-времени с
нормалью внутри светового конуса. Момент времени задают, таким образом,
четырьмя параметрами: тремя направляющими косинусами нормали
гиперповерхности или скорости наблюдателя и четвертым параметром,
позволяющим различать моменты для одного и того же наблюдателя.
С помощью релятивистской динамики можно, исходя из данного состояния в
любой момент времени, построить новое состояние, соответствующее новому
моменту времени. Зависимость динамических переменных от момента времени
задается уравнением движения. Уравнения движения должны допускать
произвольные движения момента, как параллельные переносы в пространстве-
времени, так и изменения направления его нормали. Таким образом, первые
четыре Ф первого класса должны задать четыре свободных движения момента.
Эти четыре параметра должны подчиняться уравнениям (17) или (33) как
обычные динамические переменные q и р, но в отличие от других q и р их
удобно использовать в качестве ^переменных уравнения (48), описывающих
изменение q и р с изменением момента времени. Другие формы релятивистской
динамики, не включающие понятие момента, обсуждались ранее автором*).
*) P. A. Dirac, Forms of relativistic dynamics, Rev. Mod. Phys., т. 21
(1949), 392., St. John's College, Cambridge.
ОБОБЩЕННАЯ ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА
719
В этой работе состояние задается точкой в пространстве-времени. В этом
формализме также использованы четыре Ф первого класса, задающие четыре
свободных движения фронта [236 ]. Наконец, мы можем задать состояние
динамической системы на трехмерной, пространственно-подобной
гиперповерхности. Деформации этой гиперповерхности задаются бесконеч-*
ным множеством Ф первого класса. В каждом из этих формализмов переменные,
описывающие точку, фронт или пространственно-подобную гиперповерхность,
рассматриваются как q, подчиняющиеся уравнениям (17) или (33) и могут
быть использованы как f-величины в уравнениях (48). Рассмотренные выше Ф
первого класса - наименьшая возможная система, необходимая для построения
релятивистской динамики в одной из рассмотренных выше форм. Возможны
также и другие Ф. Так, например, в электродинамике, допускающей
градиентные преобразования, существуют дополнительные степени свободы,
которые требуют введения дополнительных Ф первого класса.
11. Квантование
Для квантования динамической системы необходимо ввести систему линейных
операторов, соответствующих динамическим переменным q и р и их функциям.
Классическим переменным - скоростям и переменным, содержащим г, не могут
быть поставлены в соответствие операторы. Операторы действуют на векторы
гр в гильбертовом пространстве, причем их представители в любом
представлении (волновые функции) задают состояния квантовой системы.
Вещественные классические переменные соответствуют эрмитовым операторам.
Соответствие между классическими и квантовыми величинами основано на двух
принципах, которые, обозначая соответствующие классические и квантовые
величины одинаковыми буквами, сформулируем следующим образом:
I) Скобка Пуассона для классических переменных соответствует коммутатору
[f, rj] -> 2 ж (f rj - rj f)//A.
II) Слабые уравнения, связывающие классические величины, ссотЕет ствуют
линейным условиям, наложенным на гр :
