Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
пемеренного т. Предыдущая схема уравнений движения, выведенная из
лагранжиана и, возможно, включающая % наряду с Ф, может рассматриваться
как пример предлагаемой схемы в случае, если на v наложены дополнительные
условия, требующие, чтобы некоторые из v были равны нулю. Фа,
соответствующие этим va, есть % первого класса, введенные в предыдущей
схеме.
Такие дополнительные условия и всякие другие, включающие v, не
представляют ценности в релятивистской динамике и не могут быть введены в
квантовую механику, поэтому мы ими в дальнейшем пользоваться не будем.
Дополнительные условия, не включающие v, являются Ф-уравнениями.
Докажем, что скобка Пуассона двух Ф первого класса сама принадлежит к Ф
первого класса. [Фа, Фа> ] равна нулю слабо и, следовательно, сильно
равна линейной функции от Ф, которые в настоящей схеме являются
единственными величинами, слабо равными нулю. Мы должны, очевидно,,
показать, что С. П. для произвольного Ф слабо равна нулю.
Из тождества Пуассона следует:
Так как Фа принадлежит к первому классу, то [Ф, Фа] равна нулю слабо и,
следовательно, сильно равняется линейной форме от Ф. Отсюда С. П. для*
Фа, первого класса слабо равна нулю. Аналогично второй член правой части
равенства (43) слабо равен нулю, что и требовалось доказать. Пусть
имеется А независимых Ф первого класса и М независимых Ф любого класса. В
фазовом пространстве (2М-мерное пространство переменных qn и рп) имеется
(2N - А4)-мерное подпространство, в котором удовлетворяются все Ф-урав-
нения. Назовем его (2N - А4)-пространством. Состояние динамической:
системы для некоторого т задается точкой р в (2N - УП)-пространстве, в.
которой удовлетворяются все Ф-уравнения. Движение системы задается кривой
в (2N - А4)-пространстве, выходящей из точки р. Так как А и tv
произвольны, то кривая может принимать любое направление в малом А-мер-
ном объеме, окружающем точку р. Такие малые окрестности измерений
окружают каждую точку в (2М - Л4)-мерном пространстве. Покажем, что эти
малые окрестности интегрируемы. Предположим, что для интервала г, дт = Ej
все v, кроме va>, равного единице, равны нулю. То же самое предполагается
относительно интервала <5 г = е2, в котором от нуля отлично только va.,
также равное единице. Тогда любая функция от р и q примет при замене г на
т + е вид
В конечной точке второго интервала, пренебрегая е| и е\, но, беря члены
порядка Егеъ получим выражение для сдвига g:
[Ф, [Ф", ФА\ = [ [Ф, Фа\, Фа'] - [ 1Ф, Ф"], Фа] ¦
(43)
g + [g, Фа'\ ¦
? + ?1 [g> Фа ) + ?2 [g + ?1 [g> Фа'\, Фа"] ¦
(44)
Меняя порядок движений, имеем
g + (r)2 Ы, фа } + ?1 [g + (r)2 [g, Фа'], Ф а] •
(45)
ОБОБЩЕННАЯ ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА
717
Разность (44) и (45) приводится с помощью тождества Пуассона к виду
"1 "2 [gl [фа, Фа\\ ¦ (46)
Как было показано ранее, [Фа',Фа-] принадлежит к Ф первого класса. Таким
образом, формула (46) задает возможный сдвиг g, вытекающий из уравнений
движения при некотором выборе v и, следовательно, соответствующий
движению в малой' A-мерной окрестности начальной точки. Таким образом,
имеем условие интегрируемости.
Дополнительные условия, наложенные на v, могут нарушить условие
интегрируемости. Следовательно, условие интегрируемости не всегда
выполняется для уравнений движения, выведенных из L. Интегрируя малые
окрестности, получим систему A-мерных пространств, покрывающих (2N - УИ)-
мерное пространство, таким образом, что движение всегда происходит в
одном из них. Назовем эти пространства A-пространствами. Каждая кривая в
A-пространстве представляет возможное решение уравнений движения. Каждая
точка (2N - УИ)-пространства принадлежит одному из A-пространств,
содержащему все движения, имеющие эту точку исходной.
A-пространство можно было бы рассматривать как решение уравнения. Любая
точка в A-пространстве задается А-координатами, зависящими от q и р.
Назовем их ta (а = 1,2,..., А). Они будут играть роль переменных. A-
пространство можно описать, задавая q и р как функции от ta. Если g
является функцией от р и q, то имеем
*=".?-• <47>
Применяя (33) к g и \а, имеем
К [g, Фа\ = "" [ta, Фа] (-ffj •
Так как уравнение выполняется для произвольного va, то
[g, Фа\ = [<а,фа] (-§;)¦ (48)
Уравнения (48) можно рассматривать как уравнения движения, задающие A-
пространство. В теории с однородными скоростями они чрезвычайно близки к
обычным гамильтоновым уравнениям, к которым они сводятся при А = 1
(единственное ta в этом случае рассматривается как время).
Чтобы перейти к лагранжиану, введем скорости qn :
дФа /лп\
_ Va ^ ^
L определяется тогда как
^ = РпЯп~ H = pttqn - va0a. ' (50)
Это равенство задает L как функцию от q, q, р и v, линейную относительно
q ил. Варьируя независимо по q, q, р и v, получим:
SL = qn дрп + рп dqn - Фа dv" - va [f ) dqn + fj^- j дрп ] =
= pndqn-va[^-]dqn. (51)
Таким образом, 8L зависит только от 8рп и 8va (ср. с (6)). Если
(49) вместе
с Ф-уравнениями задает q как независимые функции от р и v, причем р и v
