Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Если мы положим / равным Фа, то первый столбец (31) будет равен нулю и,
следовательно, [D, Фа] = 0. Если же / одно из Фр или %, то либо (31)
имеет два равных столбца и, следовательно, равен нулю, либо (31) является
минором матрицы (29) с U -(- 1 строчками и также равен нулю, так как мы
предположили, что (29) имеет ранг U. Таким образом, С. П. для D со всеми
Ф и % равны нулю. D может исчезать также в сильном смысле, если
сомножители элементов первого столбца равны нулю в слабом смысле. В
случае, если это имеет место, мы вводим новый детерминант D, столбцы
которого, кроме первого, являются любыми U столбцами детерминанта (29), а
строчки- (Z7 + 1) строчками (29). То, что мы всегда можем выбрать такой
детерминант таким образом, чтобы не все сомножители элементов первого
столбца обращались в нуль, следует из предположения, что ранг (29) равен
U. Мы получим таким образом D, который является Ф первого класса и
линейной
ОБОБЩЕННАЯ ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА
713
функцией относительно Фв. Но это находится в противоречии с высказанным
ранее предположением о том, что преобразование утп переводит максимально
возможное число Ф в первый класс. Таким образом, мы заключаем, что если
максимально возможное число Ф переведено в первый класс,
то v,
соответствующие величинам Ф второго класса, равны нулю.
Гамильтониан
(20) приводится тогда к виду
Н = ъаФа. (32)
Уравнение движения принимает вид
g = (r)а [g, Фа\ . (33)
Обращение в нуль vp и уравнение (25) гарантируют выполнение условий
совместности; va остаются совершенно произвольными. Каждое из них вводит
свободное движение, соответствующее произвольной функции, входящей в
полное решение уравнений движения. В обычном случае имеет место только
одно Ф, очевидно принадлежащая к первому классу, и, следовательно, имеет
место лишь одна произвольная функция, входящая в решение уравнения
движения. Это связано с произвольным характером независимого переменного.
7. Дополнительные условия
Имея дело с конкретным случаем динамической системы, можно наложить
добавочные условия на координаты и скорости. Такие условия должны быть
введены как слабые уравнения. С помощью (10) (с § = 0) дополнительные
условия приобретают вид соотношений между q, р и v. Из них можно получить
уравнения, связывающие только q и р. Такие уравнения можно включить в
систему-(25) в качестве добавочных ^-уравнений. Это потребует добавочных
условий совместности и, следовательно, новых ^-уравнений. Тогда Ф первого
класса должны быть выбраны таким образом, чтобы С. П. для Ф с новыми %
были равны нулю. Такимобразом, дополнительные условия уменьшают число Ф
первого класса, что ведет к уменьшению свободных движений. Те
дополнительные условия, которые не вводят новых ^-уравнений, связывают
переменные va. Эти условия обычно более сложны, чем простое требование
обращения в нуль некоторых v, подобно всем условиям, вытекающим из
условий совместности. Они ведут к дальнейшему уменьшению числа свободных
движений, которое после этой редукции становится меньше числа Ф первого
класса.
8. Преобразования гамильтонова формализма
Возьмем систему функций 6S (s = 1, 2, . . ., s) от р и q, таких, что
детерминант
О [въФ,] [въ в,] ,. . [въ в,]
. ! [(r)2; Ч 0 [^2> (r)з] ••• [^2 i^s] I " .
Л = I (34)
I * I
I ft, Ч К Ч [К б,]... О I
не обращается в нуль в слабом смысле, что предполагает четное s. Пусть
c5S' обозначает множитель при [05Д' J, деленный на А, так что
^•ss' ~ Ts's )
и \ (35)
[вм=дю.. )
714
П. ДИРАК
Тогда можно определить новую скобку Пуассона [?, г) ]* для каждых двух
величин f и г):
[S,v]* = [S,v] + [SA]Css'[9s',V]. (36)
Легко видеть, что новая С. П. удовлетворяет первым двум законам (15).
Путем непосредственных вычислений можно показать, что новая С. П.
удовлетворяет также тождеству Пуассона (см. приложение). Для новой С. П.
имеет место равенство:
[f, 0,]* = [f, 0,] + [f, 6S-] cs.a. [в,., 6S] = [f, 6S] - [?, 0,0 0,., =
0 (37)
для произвольного ?.
Чтобы понять смысл новой С. П., рассмотрим случай, когда величины в
состоят из s/2 координат q и им сопряженных р. Мы видим, что новые С. П.
получаются из старых опусканием членов, содержащих дифференцирование по
этим р и q в выражении (14). Таким образом, новая С. П. относится к
системе с N-у степенями свободы. |Если мы будем считать, что в -
произвольные функции от некоторых р и q, то мы получим эту же самую новую
С. П. В этом общем случае новая С. П. будет отнесена к системе с N-^
степенями свободы, но уменьшение числа степеней свободы производится
более сложно, чем в предыдущем случае. Предположим, что в принадлежат к Ф
и х (ф должны быть второго класса, так как иначе А = 0). Тогда имеем [0S(
Н ] = 0 для всех s и отсюда
[g,H]* = [g,H]=g (38)
для любого g, зависящего от q и р. ТакиЫ образом, новая С. П. может быть
использована для получения гамильтоновых уравнений движения. Мы получим
таким способом более простой вид уравнений движения, содержащий меньшее
