Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 329

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 323 324 325 326 327 328 < 329 > 330 331 332 333 334 335 .. 461 >> Следующая

уравнений
Ф(я,р) = о, (3)
содержащих только q и р.
Мы можем считать, не нарушая общности, что уравнения (3) записаны таким
образом, что варьирование изменяет Ф на величину порядка е, так как в
случае, если Ф изменяется на величину порядка ек, мы всегда можем
удовлетворить нашему условию, заменив Ф на Ф". Таким образом, уравнение
(3) нарушается при варьировании с точностью до е, так что вполне
справедливо считать его слабым уравнением. Используем теперь полную
систему независимых уравнений типа (3) :
Фт(ч,р) = 0 (т = 1, 2, ... , М). (4)
Условие независимости означает, что ни одно из Ф нельзя выразить линейно
через другие Ф с коэффициентами, зависящими от q и р. Условие полноты
означает, что каждая функция q и р, обращающаяся в 0 при учете уравнений
(2) и изменяющаяся на е при варьировании, линейно выражается через Фт с
коэффициентами, зависящими от q и р. Связь сильных и слабых уравнений
можно интерпретировать следующим образом.
Координаты q, q н р образуют ЗУ-мерное пространство. В этом пространстве
существует 2У-мерная область, в которой удовлетворяются уравнения (2).
Назовем эту область R. Уравнения (4) также удовлетворяются в R, так как
они вытекают из (2). Теперь рассмотрим множество точек ЗУ-мерного
пространства, удаленных от области R на расстояние, не превышающее е.
Точки образуют ЗУ-мерную окрестность порядка е. Назовем ее Rf. Тогда
слабые уравнения удовлетворяются в области R, а сильные - в области Re~
ОБОБЩЕННАЯ ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА
707
3. Гамильтониан
Гамильтониан Я определяется как
Н == PnQn ~~ L, (5)
где суммирование подразумевается по двум одинаковым индексам. Имеем:
dH = d(pnqn-L)=pn ё qn + qn ёрп - (~) dqn - (---) dqn =
=jn&Pn - [-^)*4n-: (6)
Мы нашли, что дН не зависит от 8qn. Этот важный результат имеет место как
в обычном, так и в общем случаях.
Уравнение (5) задает Я как функцию от q, q и р, определенную в 3N-мерном
пространстве координат q, q и р. Мы используем это определение только в
области Re, в которой результат (6) выполняется с точностью до первого
порядка. Это значит, что если мы положим q = const и р - const и
произведем вариацию первого порядка величин q, то вариация Я будет
второго порядка. Таким образом, если мы положим q = const и р = const,
заменим q на конечную величину и останемся в о бласти Re, что возможно,
когда не имеет места обычный случай, то вариация будет первого порядка. В
области же R вариация будет равна нулю.
Следовательно, Я в области R зависит только от q и р. Обозначая эту
фукцию через ф (q, р), имеем слабое уравнение
H = §(q,p), (7)
выполняющееся в области R.
В обычном случае § совпадает с обычным гамильтонианом. После полного
варьирования имеем:
<("-$>=($.-S "а.-(-!?--$>"• от
Таким образом, б (Я - §) зависит только от dq и 8р. Вариация б (Я - ?>)
обращается в нуль для тех вариаций по q и р, для которых при надлежащем
выборе бq сохраняются уравнения (2). Единственное ограничение,
наложенное, на 8q и др, требует, чтобы сохранялись уравнения (4) (они
должны приводить к бФт = 0 для всех т). Таким образом, б (Я - §) равно
нулю для всех бq и др, обращающих в нуль дФт ; отсюда для произвольных
б<7 и др имеет место
б(Я-§) = "тбФт (8)
с некоторыми коэффициентами vm.
Коэффициенты vm, являющиеся функциями от q, q и р, можно с помощью (2)
выразить только через q и q. Из (4) и (8) получим
d(H-$-vm фт) = а (Я - $) - vm ёфт - Фт Svm = 0, ¦ (9)
а отсюда
Н = § + Vm Фт •
Мы имеем сильное уравнение, выполняющееся с точностью до первого
порядка в области Re, в противоположность слабому уравнению (7),
вы-
полняющемуся только в области R.
708
П. ДИРАК
Из уравнения (8) следует:
т = i(r) + ,тшт _ -М- ip" + Ж а," + "" *")
Сравнивая SW с (6), получим
Э L Щп
dpn + Vm Э Фт 9 Рп
dqn + vm 9 Фт dqn
(10)
00
Уравнения (10) выражают q в терминах q, р и v. Из них следует, что 2N
переменных qn и qn можно выразить через 2N + М переменных qn, рп, vm.
Между 2N + М переменными существует М соотношений (4). Других соотношений
между этими переменными не может быть, так как иначе они не были бы
независимыми. Таким образом, каждое v независимо от q, р и других v.
Переменные v можно рассматривать как своего рода скорости. С их помощью
можно задать те q, которые не могут быть выражены через q и р. Когда мы
имеем дело с гамильтоновым формализмом, мы пользуемся в качестве основных
переменных теми q, р и v, которые связаны только соотношениями (4). Эти
переменные мы назовем гамильтоновыми переменными.
.. уравнения движения
Будем считать обычные уравнения Лагранжа слабыми уравнениями :
dL
Р,= щГ- 02)
Подставляя в (12) значения рп из (2), получаем уравнения, содержащие
ускорения qn. В обычном случае эти уравнения задают q в терминах q и q.
В случае, когда имеют место М уравнений (4), уравнения движения - дают
только N - М соотношений для величин "q. Остальные М уравнений движения
описывают изменения Фт с изменением времени. Для того чтобы система
уравнений была совместной, Фт должны обращаться в нуль. Условия
Предыдущая << 1 .. 323 324 325 326 327 328 < 329 > 330 331 332 333 334 335 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed