Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Красивый прием, избранный Кратцером при классическом рассмотрении задачи,
является простейшим также и в случае волновой механики. При этом, однако,
чтобы дойти до вычисления деталей полосатых
704
Э. ШРЕДИНГЕР
спектров, приходится применить теорию возмущения собственных значений и
собственных функций, т. е. учесть в этих значениях и функциях изменения,
которые происходят, когда в коэффициенте перед неизвестной в
дифференциальном уравнении добавляется малый "возмущающий член". Эта
"теория возмущений" вполне аналогична соответствующей теории классической
механики, причем проблема в данном случае более проста по той причине,
что в волновой механике пользуются только линейными соотношениями. В
первом приближении оправдывается утверждение, что возмущенные собственные
значения раЕРНы "усредненному по невозмущенному движению" члену
возмущения.
Теория возмущений значительно расширяет границы, в которых возможно
аналитическое использование новой теории. Я могу уже здесь указать тот
практически важный результат, что найденное выражение для эффекта Штарка
первого порядка действительно совпадает с формулой Эпштейна,
подтвержденной экспериментом.
Цюрих, Физический институт университета (поступило 23 февраля 1926 г.)
П. ДИРАК
ОБОБЩЕННАЯ ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА [232 ]
1. Введение
Уравнения динамики были записаны в общем виде Лагранжем с помощью системы
обобщенных координат и скоростей.
Эквивалентная общая форма динамических уравнений, записанных в терминах
координат и импульсов, была предложена Гамильтоном. Сравним достоинства
обеих форм записи.
Пользуясь формализмом Лагранжа, легко удовлетворить требованию
релятивистской инвариантности, выбирая действие, т. е. интеграл, от
лагранжиана по времени в виде, инвариантном относительно группы Лоренца.
Мы не знаем столь же простого пути релятивизации гамильтоно'ва
формализма. При создании квантовой теории приходится исходить из
гамильтонова формализма. Существуют надежные правила перехода от
классической гамильтоновой динамики к квантовой динамике, основанные на
замене координат и импульсов линейными операторами. Эти правила в простых
случаях приводят к однозначным результатам и хотя в более сложных случаях
их нельзя применить без известной неоднозначности, они показали себя
вполне пригодными для любой практической цели.
Таким образом, оба формализма имеют в настоящее время свои преимущества,
что и делает необходимым пользоваться и тем и другим. Оба формализма
тесно связаны друг с другом. Исходя из лагранжиана и вводя импульсы,
можно в случае, если импульсы-независимые функции от скоростей, получить
гамильтониан. В настоящей работе построена более общая теория, применимая
к случаю, когда импульсы не являются независимыми функциями от скоростей.
Получена обобщенная формулировка гамильтонова- принципа, которую по-
прежнему можно использовать для квантования и которая оказывается
особенно удобной для релятивистского описания динамических процессов.
2. Сильные и слабые уравнения
Рассмотрим динамическую систему с N степенями свободы, заданную в
терминах обобщенных координат qn (п = 1, 2, ... ,N) и скоростей ^или
qn. Вначале будем считать лагранжиан L произвольной функцией координат и
скоростей:
L = L(q,q). (1)
Импульс задается соотношением
9 L
Рп - ' Щп ¦ ( )
Введем операцию варьирования, независимо изменяющую каждую из
706
П. ДИРАК
величин qn, qm рп на малую величину dqn, 8qn, дрп порядка е, причем
варьирование ведется с точностью до е. В результате варьирования
уравнения (2) перестанут удовлетворяться, так как их правая часть будет
отличаться от левой на величину е. В дальнейшем мы будем различать два
вида уравнений: уравнения типа (2), которые нарушаются с точностью до е
после варьирования [233], и уравнения, выполняющиеся с точностью до е
после варьирования. Уравнение (1) принадлежит ко второму виду, поскольку
вариация L, по определению, равна вариации функции L(q, q). Уравнения
второго вида мы назовем слабыми уравнениями и будем записывать
с помощью обычного символа равенства (=), первый же вид
уравнений назовем
сильными уравнениями и будем обозначать символом (=). Имеют место
следующие общие правила варьирования слабых и сильных уравнений :
если А ~ 0, то 8А = О,
если X = О, то 8Х Ф 0.
Из слабого уравнения X = 0 следует, что 8 X2 = 2Х 8 X = 0. Таким образом,
мы получаем сильное уравнение X2 = 0. Аналогично из двух слабых уравнений
Хх = 0 и Х2 = 0 следует уравнение
Х^-О.
Возможен случай, когда У величин dLjdqn, стоящих в правой части уравнения
(2), являются независимыми функциями N скоростей qn. В этом случае
уравнения (2) задают qn как функции от всех qn и рп. Этот случай (мы
будем называть его в дальнейшем обычным случаем) рассматривался до сих
пор во всех динамических теориях как единственно возможный.
Если величины 9не являются независимыми функциями скоростей, то мы можем
исключить величины q из уравнений (2) и получить одно или несколько
