Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Требование однозначности и непрерывности у> на сфере приводит, как
известно, к собственным значениям
*±Ае = п(п + 1) (" = 0,1,2,3...). (34)
Собственными функциями будут, очевидно, сферические функции.
Энергетические уровни имеют вид
Еп = n%i-Ah- (" = 0, 1,2,3...). (34')
Это выражение отличается от всех предыдущих (кроме, быть может,
гейзенберговского). Экспериментальные данные говорят, однако, в пользу
того, что в формулу (31) по различным основаниям нужно подставлять
"полуцелые" значения п. Очевидно, что (340 приводит практически к тем же
результатам, что и выражение (31) при полуцелых п, так как
п(п+ 1) = (п + у)2-^.
700
Э. ШРЕДИНГЕР
Разница заключается, таким образом, лишь в малой аддитивной постоянной;
расстояния между уровнями в случае формулы (34') остаются такими же, как
и при "полуцелом квантовании". Этот результат сохраняет также силу и для
коротковолновой области, в которой момент инерции в начальном и конечном
состояниях различается из-за "электронных скачков", так как при этом
самое большее ко всем линиям из одной серии добавляется лишь малое
постоянное слагаемое, незаметное в больших "электронных термах" или в
термах, связанных с колебаниями ядер. Отметим, что из произведенного до
сих пор анализа с определенностью не следует возможность учитывать это
малое дополнительное слагаемое посредством использования выражения
/г2 г_1____l_\
4 8 л2 I, А А')'
Представление о моменте инерции, определяемом с помощью "квантовых
условий" для движения электронов и колебаний ядер, выходит из
рассматриваемого круга идей. В следующем примере мы покажем, что
приближенно
можно одновременные колебания ядер и вращение в двухатомных молекулах
рассматривать как некоторый синтез разобранных в примерах 1 и 3 случаев
*)-Можно еще упомянуть, что значению п - 0 соответствует равенство
функции у> не нулю, а некоторой постоянной величине, т. е. при этом
получается некоторое колебание с постоянной амплитудой на всей
поверхности сферы.
4. Упругий ротатор (двухатомная молекула)
Согласно сделанному в конце п. 2 замечанию, мы должны здесь с самого
начала считать, что имеется шесть степеней свободы, как это имеет место
на
самом деле. Возьмем сначала декартовы координаты xlf у1; zv х2, у2, z2
обеих молекул, массы которых положим равными тгнт2. Пустьг будет
расстоянием между ними, a V - потенциальной энергией, равной
V = 2 n2v\p (г - г0)2, (35)
где г = }f(Xl - х2)2 + (уг - у2)2 + (z^z2f.
Здесь
т1 ш2 ^
является "приведенной массой",
т1+тг
- механической собственной частотой
колебания ядер вдоль соединяющей их оси, а г0 представляет собой
расстояние, при котором потенциальная энергия принимает минимальное
значение. При этом все пока рассматривается в смысле обычной механики.
Колебательное уравнение (18") принимает здесь следующий вид:
1 г ъьр т1 { Эх?
ЪЬр д2у>
+
Эу?
92У ) , 1 (
9г? ) + ш2 I
I 9 2у>
+ Я-..2 "г
Эх? 1 Эу? , 8л2
Эг?
-) +
/г2
[Е - 2 л2 v2p (г - г0)2] у> = 0 . (37)
Введем в качестве новых независимых переменных величины х, у, г, ?, щ, С:
x = Xl - х2, (mi + т2) ? = mlXl + т2х2,
у = у1-у2, (1Щ + т2) г] = yi + т2 у2, (38)
Z=z1 - z2, (/"1 + т2) С = 1Щ + т2 z2.
*) Ср. A. Sommerfeld, Atombau und Spektrallinien, 4 Aufl., стр. 833. Мы
пока не рассматриваем ангармонический дополнительный член в потенциальной
энергии.
КВАНТОВАНИЕ КАК ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
701
После их подстановки получаем
1 ( Э2у> о2у> . о2у> Л 1 ( д2у> . 82у . 82у>
'j
77 ["Эх2" + "~Эу2" + Эг2 J + mx + m2 1 Э?2 + "Э^ 9f2 J +
+ 1а" __Ь'(г-г0У]у> = 0, (37')
где для сокращения положено
п" _ 8л2Е и, _ 16лivl/x /гшч
U д2 ~ , с/ - ^2 - - .
Мы теперь можем представить функцию у в виде произведения функции,
зависящей от относительных координат х, у, z, на функцию, зависящую от
координат центра тяжести f, rj, С:
у = / (х, У, z) g (f, J], С). (40)
Для определения функции g получается уравнение
(0 + 0 + 0) + const = 0 ' (41)
имеющее тот же вид, что и уравнение свободного движения материальной
точки с массой т1 + Щ- Константа имеет в этом случае следующий смысл :
, 8л2Е( ,.0>
const = -р- , (42)
где Е, - трансляционная энергия данной материальной точки.
Подставим
значение константы (42) в (41). Собственные значения параметра Et зависят
теперь от того, требуется ли вводить в какой-либо части всего
пространства дополнительные слагаемые в потенциальной энергии или нет.
Если это не требуется, то можно брать все положительные значения Et, в то
время как все отрицательные значения недопустимы. В самом деле, в этом
случае уравнение (41) имеет решения, не равные нулю тождественно и
ограниченные во всем пространстве тогда и только тогда, когда Е,
положительно. Если же молекула находится в каком-либо "ящике", то это
равносильно введению для функции соответствующих граничных условий или,
говоря последовательнее, резкому изменению уравнения (41) на поверхности
ящика из-за появления новых членов в потенциальной энергии. Тем самым
выделяется спектр дискретных собственных значений Et, т. е. происходит
