Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
нахождение лишь одного, первого из них, было бы большим достижением,
поскольку тем самым был бы определен потенциал ионизации. Сведение
проблемы собственных значений к задаче на экстремум без непосредственного
использования дифференциального уравнения приводит к отчетливому
изложению, и, по-моему, вероятно, что будут найдены по крайней мере
прибилженные методы, основанные на подобном сведении, поскольку в них
имеется настоятельная необходимость. По меньшей мере, в отдельных случаях
должно быть возможным исследование того, удовлетворяют ли задаче те
собственные значения, численные величины которых получены с большой
точностью спектроскопически.
Я не Ajory здесь обойти молчанием то обстоятельство, что сейчас делаются
попытки устранения трудностей квантовой теории со стороны Гейзенберга,
Борна, Иордана и некоторых других выдающихся ученых*), причем благодаря
значительности достигнутых успехов нельзя сомневаться в том, что
полученные результаты содержат по крайней мере известную долю истины [ш].
Как мы уже отмечали, особенно близок по тенденции к данной работе метод
Гейзенберга. Однако по применяемым методам предлагаемая попытка решения
проблемы настолько отлична от подхода Гейзенберга, что мне пока не
удалось найти звено, связующее эти два способа. Я совершенно уверен в
том, что обе эти попытки не только не будут противоречить друг другу, но
даже, наоборот, вследствие полного различия исходных положения и методов
окажутся взаимно дополняющими. Сила гейзенберговской программы
заключается в том, что она обещает вычислить интенсивности линий, в то
время как мы к этому вопросу пока совершенно не подходили. Сила же
предложенного в данной работе метода заключается, как я могу судить, в
использовании руководящего физического представления, согласно которому
микроскопические и макроскопические явления связаны друг с другом, причем
разъясняется, почему при истолковании каждого случая требуются внешне
различные приемы. Мне лично особенно нравится приведенное в конце
предыдущей статьи истолкование излучаемых частот как "биений", причем я
думаю, что таким образом будет получено также наглядное истолкование
формул для интенсивности.
*) W. Heisenberg, Zs. f. Phys. 33, стр. 879 (1925); M. Born und P.
Jordan, ibid. 34, стр. 858 (1925); M. Born, W. Heisenberg und P. Jordan,
ebendort 35, стр. 557 (1926); P. Dirac, Proc. Roy. Soc., London 109, стр.
642 (1925).
КВАНТОВАНИЕ КАК ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
695
§ 3. Примеры
Мы собираемся здесь добавить к рассмотренной в предыдущем сообщении
кеплеровой задаче несколько других примеров. При этом взяты лишь-
простейшие случаи, поскольку мы пока ограничиваемся классической
механикой и не вводим магнитного поля*).
1. Планковский осциллятор. Вопросы вырождения
Рассмотрим прежде всего одномерный осциллятор. Пусть координата q будет
отклонением, умноженным на корень квадратный из массы. Тогда оба
выражения кинетической энергии будут иметь вид
где v0 - собственная частота в механическом смысле. Уравнение (18) в этом
случае примет форму :
Собственные значения и собственные функции этого уравнения известны**).
Собственные значения в используемых обозначениях равны
Собственными функциями являются ортогональные функции Эрмита:
*) В релятивистской механике, а также при учете магнитного поля у. Г.
становится сложнее. В случае отдельного электрона согласно у. Г. разность
четырехмерного градиента функции действия и некоторого заданного вектора
(четырехмериого потенциала) равна постоянной величине. Волновое
истолкование этого положения довольно затруднительно.
**) Ср. С о u г a n t - Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, I,
Berlin, bei Springer (1924), V, § 9, стр. 261, уравнение 43 и далее, II,
§ 10, 4, стр. 76.
(20)
Потенциальная энергия будет равна
V(q) = 2n*vlq\
(21)
(22)
Положим для сокращения
8я2Е , 16 л2"',2
(23)
тогда вместо уравнения (22) получится
(22')
Введем в качестве независимой переменной величину
4
х= q Ц ,
(24)
после чего получаем
(22")
= 1, 3, 5, ..., (2 л + 1) ...
(25)
(26)
696
Э. ШРЕДИНГЕР
причем п-й полином Эрмита Нп(х) может быть определен как
Нп(х) = (-1Г<*~~, (27)
или в явном виде как
Нп (х) = (2 х)" - (2 х)"-2 + n(n- i)(n-2)(n-3) ^ х^п_4
_ _ ^
Первые из этих полиномов равны:
Я0(х)=1, Н1(х) = 2х, Я2 (х) = 4 х2 - 2 , Н3 (х) = 8х3 - 12х,
Я4(х)= 1бх4-48х2+ 12 ... (27")
Рассматривая сначала собственные значения, согласно равенствам (25) и
(23) получаем
En = -^±±hv0, п = 0, 1,2,3, ... (25')
В качестве квантовых уровней получаются, таким образом, так называемые
"полуцелые" кратные "энергетического кванта", характерного для
осциллятора, т. е. нечетные кратные величины , Расстояния между уровнями,
определяющие излучение, получаются такими же, что и в существующей
теории. Замечательным образом наши квантовые уровни точно равны уровням,
полученным по теории Гейзенберга! Для теории теплоемкостей полученное
отличие от существующих теорий имеет известное значение, в особенности
