Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 322

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 316 317 318 319 320 321 < 322 > 323 324 325 326 327 328 .. 461 >> Следующая

693
ческой механики дискретное семейство траекторий, соответствующих
действительно возможным движениям. Кажется бесполезным искать выход из
создавшегося положения в указанном нами направлении, поскольку сначала
при подобном подходе мощность множества решений не только не уменьшается,
но даже увеличивается.
Однако ведь и задачи классической динамики могут быть сведены к
дифференциальному уравнению в частных производных, а именно к уравнению
Гамильтона. При этом множество решений подобной задачи вовсе не
соответствует множеству решений у. Г. Любой "полный" интеграл у. Г. уже
полностью решает механическую проблему, каждый другой полный интеграл
приводит к тем же траекториям, множество которых лишь по-иному
составлено.
Что касается опасений, возникающих в связи с выбором уравнения (18) в
качестве основного положения атомной механики, то ведь я нигде не
утверждал, что к этому уравнению не должны быть добавлены еще и другие
дополнительные положения. Однако эти дополнительные условия будут, по-
видимому, обладать не столь неожиданным и непонятным характером, как
теперешние "квантовые правила"; даже, наоборот, их вид типичен для
физических задач, пользующихся уравнениями в частных производных (имеются
в виду начальные и граничные условия). Эти условия не будут ни в какой
мере аналогичны квантовым правилам, так как квантовые условия во всех
случаях классической динамики, которые я до сих пор исследовал,
заключаются в самом уравнении (18). Данное уравнение само выделяет в
известных случаях, причем как раз тогда, когда это также следует из
опыта, некоторые определенные частоты или уровни энергии, как единственно
возможные при стационарных процессах; при этом не предъявляются никакие
дополнительные требования, кроме того, физически почти очевидного
условия, что функция у> должна быть в конфигурационном пространстве
однозначной, ограниченной и непрерывной.
Высказанное опасение, таким образом, не оправдывается, по крайней мере в
случай уровней энергии или, осторожней говоря, в случае частот (так как
нельзя забывать, что остается неясным, как следует истолковывать "энергию
колебаний", поскольку лишь в случае одного тела можно говорить о чем-то,
что поддается истолкованию как колебания в действительном трехмерном
пространстве). Определение квантовых уровней не разбивается больше на
два, по существу различных, этапа, а именно; 1) на нахождение всех
динамически возможных траекторий и 2) на отбрасывание большинства
полученных на первом этапе решений с выделением некоторых немногих,
удовлетворяющих специальным требованиям; напротив, квантовые уровни
определяются теперь сразу как собственные значения уравнения (18), при
которых выполняются введенные выше естественные граничные условия.
Пока я с достоверностью не могу судить о том, получится ли подобным
образом аналитическое объяснение и более сложных случаев. Я могу это
только предполагать. Большинству исследователей, конечно, кажется, что
при описанном выше делящемся на этапы методе первый этап дает решение
более сложной проблемы, чем это собственно требуется для получения
окончательного результата: получения выражения для энергии, имеющего
обычно вид очень простой рациональной функции от квантовых чисел. Уже
применение метода Гамильтона-Якоби приводит, как известно, к большим
упрощениям [230 ], причем отпадает необходимость в фактическом решении
механических уравнений. Вместо того чтобы брать интегралы, представляющие
импульсы с переменным верхним пределом, достаточно их интегрировать по
замкнутому в комплексной плоскости пути, что представляет значительно
меньше труда. Кроме того, если действительно известен полный
694
Э. ШРЕДИНГЕР
интеграл уравнения Гамильтона, т. е. если он выражен в виде квадратур, то
в принципе может быть получено решение механической проблемы при любых
начальных условиях. При нахождении собственных значений дифференциального
уравнения обычно, особенно в конкретных задачах, получаю^ решение сначала
без учета граничных условий и условий устойчивости и лишь затем, исходя
из явного вида решения, выбирают значения параметров, при которых
названные условия должны выполняться. Примером подобного подхода может
служить наше первое сообщение. На указанном примере видно также, что, как
это характерно вообще для задач о собственных значениях, решение, имеющее
в общем случае крайне громоздкий аналитический вид (формула (12)
цитируемой работы), значительно упрощается для собственных значений,
соответствующих "естественным граничными условиям". Я недостаточно знаком
с тем, разработаны ли уже сейчас прямые методы вычисления собственных
значений, подобно тому, как это сделано для выяснения распределения
собственных значений большого номера. Последний предельный случай не
представляет здесь прямого интереса, поскольку он соответствует
классической, макроскопической механике. Для спектроскопии и атомной
физики нужны как раз первые 5 или 10 собственных значений; даже
Предыдущая << 1 .. 316 317 318 319 320 321 < 322 > 323 324 325 326 327 328 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed