Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
составляющих семейства (15') в некоторый момент времени должны
одновременно иметь место равенства
о(r)
так как величины d аг внутри некоторой малой области произвольны. В этих
п + 1 равенствах правые части являются постоянными, а левые - функциями п
+ 1 величин qv q2, ..qn, t. Равенства (16) удовлетворяются системой
начальных значений, т. е. координатами точки Р в исходный момент времени
t. При любом другом значении t эта система окажется переопределенной.'
Можно, однако, поступить следующим образом. Откинув сначала первое
равенство W = W0, определим с помощью п остальных равенств координаты qk
как функции времени и постоянных. Точку с этими координатами обозначим Q.
В ней первое равенство, очевидно, не будерг выполнено, наоборот, левая
сторона этого равенства будет отличаться от правой на некоторую величину.
Если вспомнить происхождение соотношений (16) из условия (15'), то из
сказанного становится очевидным, что Q представляет собой общую точку не
системы поверхностей (15'), а некоторой другой системы, получающейся
после изменения правой стороны (15') на одну и ту же для всех
поверхностей величину. Обозначим полученную таким образом систему
поверхностей (15"). Для нее точка Q будет общей точкой. Как это было
ранее отмечено, в (15") войдут из семейства (15) уже не те поверхности,
которые входили в (15'). Эта замена поверхностей в (15') происходит
вследствие изменения постоянной const в равенстве (15) на одинаковую
величину для всех составляющих. Таким образом, фаза у всех составляющих
также изменяется на одну и ту же величину. Поэтому члены нового
семейства,
КВАНТОВАНИЕ КАК ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
689
которое мы обозначили (15"), будут, пересекаясь в точке Q, так же как и
члены семейства (15'), совпадать по фазе. Это означает также, что точка
Q, определенная с помощью п уравнений
как функция времени, будет всегда оставаться точкой одинаковой фазы всего
семейства волновых поверхностей (15).
Из п поверхностей, пересечение которых определяет согласно (17) точку Q,
все, кроме первой, закреплены (только первое из равенств (17) содержит
время). Линия пересечения п - 1 закрепленных поверхностей определяет
траекторию точки Q. Как нетрудно показать, эта линия пересечения является
ортогональной траекторией семейства поверхностей W = const. Функция W, по
исходному предположению, удовлетворяет уравнению Гамильтона (Г)
тождественно по а1; а2, . .., ап. Если продифференцировать теперь
уравнение Г амильтона по ак (к = 2, 3, ..., п), то станет видно, что
нормаль к
поверхности = const перпендикулярна в каждой точке поверхности к
нормали, проходящей через ту же точку поверхности W - const, т. е. каждая
из этих двух поверхностей содержит нормаль другой поверхности. Если линия
пересечения п - 1 неподвижных поверхностей (17) не разветвляется, что
наверняка имеет место в общем случае, то каждый линейный элемент этой
линии должен совпадать как единственный общий элемент всех п - 1
поверхностей, с нормалью к проходящей через данную точку ^-поверхности,
т. е. эта линия пересечения действительно будет ортогональной траекторией
семейства наших ^-поверхностей, что и требовалось доказать.
Довольно длинные рассуждения, приведшие нас к равенствам (17), могут быть
высказаны кратко, так сказать, стенографически, следующим образом: с
точностью до универсальной константы ~ функция W означает фазу
волновой функции. Если теперь имеется не одна, а целое непрерывное
многообразие волновых систем, соответствующих различным непрерывно
изменя-
9 w ,
ющимся значениям параметра а" то уравнения - const являются вы*
ражением того, что все бесконечно мало отличающиеся члены этого
многообразия (волновые системы) имеют совпадающие значения фазы. Эти
сравнения определяют, таким образом, геометрическое место точек
одинаковой фазы. Если число уравнений достаточно велико, то это
геометрическое место сжимается в точку: положение этой точки одинаковой
фазы определяется уравнениями как функция времени.
Поскольку система (17) совпадает с известной второй системой равенств
Якоби, то мы показали, таким образом, что точка совпадающих фаз
некоторого п-параметрического инфинитезималъного многообразия волновых
систем двигается по тем же законам, что и точка, изображающая
механическую систему.
Я считаю, далее, даже при специальном выборе амплитуд и формы волновых
поверхностей очень сложной задачей строгое доказательство того, что
суперпозиция этих волновых систем приводит к наличию заметного возмущения
лишь в сравнительно малой окрестности точки совпадающих фаз, в то время
как во всех остальных точках интерференция приводит к отсутствию заметных
возмущений. Я лишь выставлю соответствующую физическую гипотезу, не
занимаясь только что поставленной задачей, которую имеет смысл решать
лишь после того, как эта гипотеза будет оправдана и ее применения
потребуют тщательного анализа.
91К ' За"
(17)
44 Ваоиаиионные поиниипы механики
690
