Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Зависимость волновой скорости от энергии системы переходит таким образом
в своеобразную зависимость от частоты, т. е. получается закон дисперсии
волн. Этот закон представляет чрезвычайный интерес. Мы указывали в § 1,
что движение волновых поверхностей слабо связано с движением системы
точек, поскольку скорости этих движений не равны и не могут быть равны.
Однако согласно формулам (9), (11) и (б') скорость движения системы v
имеет и для волн очень конкретный смысл. Как легко показать, имеет место
равенство
т. е. скорость движения системы точек равна скорости группы волн, мало
отличающихся по частотам (скорости распространения сигнала). Мы вновь
получили закон, выведенный де Бройлем в его прекрасном исследовании*) для
"фазовых волн"электрона в непосредственной связи с теорией
относительности. Этому исследованию в значительной мере обязано появление
моей работы. Очевидно, что в данном случае дело идет об имеющей большую
общность теореме, которая не является простым следствием теории
относительности, а верна также и для любой консервативной системы,
подчиняющейся обычно механике.
Приведенные обстоятельства позволяют значительно теснее, чем это можно
было до сих пор, связать изображение движения точки с распространением
волн. Можно попытаться построить волновую группу, имеющую во всех
направлениях относительно малые размеры. Подобная волновая группа
h
mva
dv
(13)
V
*) L. d e Broglie, Ann. de Phys. (10) 3, 1925, стр. 22 (Theses, Paris,
1924).
686
Э. ШРЕДИНГЕР
будет, по-видимому, двигаться по тем же законам, что и отдельная
изображающая механическую систему точка. При этом получается, так
сказать, суррогат изображающей точки до тех пор, пока протяженность
нашей, волновой группы пренебрежимо мала по отношению к траектории
системы и ее можно считать точечной. Это будет во всяком случае иметь
место лишь тогда, когда размеры и в особенности радиус кривизны
траектории очень велики по сравнению с длиной волны. Дело в том, что из
аналогии с обычной оптикой непосредственно ясно, что протяженность
волновой группы не может быть в нашем случае меньше длины волны, а
должна, наоборот, составлять во всех измерениях значительное число длин
волн для того, чтобы составляющие группы волны могли оставаться
приближенно монохроматическими. Мы вынуждены требовать выполнения этого
условия, так как волновая группа в целом должна распространяться с
определенной групповой скоростью и соответствовать механической системе с
определенной энергией (см. равенство (11)).
По-моему, подобные волновые группы можно построить, причем таким же
способом, каким Дебай*) и фон Лауэ**) решили задачу обычной оптики о
нахождении точного аналитического представления для светового конуса или
светового пучка. При этом появляется еще крайне интересная связь с не
рассмотренной в § 1 частью теории Якоби-Гамильтона, а именно с известным
способом получения интегралов уравнений движения посредством
дифференцирования полного интеграла уравнения Гамильтона по постоянным
интегрирования. Как мы сейчас увидим, упомянутый только что метод
получения интегралов движения Якоби равносилен в нашем случае следующему
положению : изображающая .механическую систему точка совпадает длительный
период с той точкой, где встречается определенный континуум волн в равной
фазе.
Строгое волновое представление "пучка лучей", исходящих из некоторого
источника, с "резко" ограниченным конечным поперечным сечением,
получается в оптике, по Дебаю, следующим образом: берется суперпозиция
континуума плоских волн, каждая из которых заполняет все пространство,
при этом нормали к входящим в суперпозицию волновым поверхностям
изменяются в пределах заданного угла. Вне определенного двойного конуса
волны в результате интерференции почти совершенно уничтожают друг друга,
так что с ограничениями, связанными с дифракцией, получается волновое
представление ограниченного светового пучка. Подобным же образом можно
представить и бесконечно узкий лучевой конус, изменяя лишь волновую
нормаль совокупности плоских волн внутри бесконечно малого телесного
угла. Этим обстоятельством воспользовался фон Лауэ в своей знаменитой
работе о степенях свободы лучевых пучков***). Наконец, вместо того чтобы
использовать, как это до сих пор молчаливо предполагалось, только чисто
монохроматические волны, можно варьировать частоту внутри некоторого
бесконечно малого интервала и посредством соответствующего подбора
амплитуд и фаз ограничить возмущение областью, которая будет сравнительно
мала также и в продольном направлении. Таким образом может быть получено
аналитической представление {(энергетического пакета" сравнительно
небольших размеров ; этот пакет будет передвигаться со скоростью света
или в случае дисперсии с групповой скоростью. При этом мгновенное
положение энергетического пакета (если не касаться его структуры)
определяется естественным образом, как та точка пространства, где
*) Р. По bye, Ann. d. Plivs. 30, 1909, стр. 755.
