Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 315

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 309 310 311 312 313 314 < 315 > 316 317 318 319 320 321 .. 461 >> Следующая

одной поверхности постоянного уровня к другой, причем при положительной
величине Е сдвиг происходит в сторону растущих значений W. Вместо этого
.можно также считать, что сдвигаются сами поверхности, причем каждая из
них сохраняет свое значение W, но принимает форму и положение следующей
поверхности семейства. Закон движения поверхностей определяется тем,
например, что поверхность VT0 должна принять ко времени t + A t
положение, занимавшееся в момент t поверхностью W0 + Е dt. Этого можно
достичь согласно формуле (4), сдвигая каждую точку поверхности W0 в
направлении положительной нормали на длину
ds = ¦ . --------. (5)
]'2(E-V) v
Это означает, что поверхности сдвигаются с нормальной скоростью
da Е /л \
и ~~ м ~ У2 (if- v) ' ^
которая после задания постоянной Е является функцией только положения в
пространстве.
Теперь очевидно, что нашу систему поверхностей W = const можно
рассматривать как систему волновых поверхностей поступательного
стационарного волнового движения в ^-пространстве, причем скорость
движения в каждой точке пространства определяется посредством формулы
(6). Дело в том, что наш метод построения можно, очевидно, заменить
построением с помощью элементарных волн Гюйгенса (радиуса ds (5)) и их
огибающих. "Коэффициент преломления" обратно пропорционален величине и
(6) и зависит от положения, но не от направления. Таким образом,
оптически ^-пространство неоднородно, но изотропно. Элементарные волны
являются сферами, причем сферами, как это следует здесь еще раз
подчеркнуть, в смысле линейного элемента, определяемого формулой (3).
Функция действия W играет для нашей волновой системы роль фазы; у. Г.
является выражением принципа Гюйгенса. Если сформулировать принцип Ферма
в виде
О 4 |' * J , ^ J- 2Г ш = V<5J 2 Tdt, (7)
р, р, " ь f,
то мы прямо получаем принцип Гамильтона в форме Мопертюи (при
интегрировании и варьировании имеет место равенство Т + V = Е = const).
"Лучи", т. е. ортогональные траектории волновых поверхностей, являются
также путями движения системы с энергией Е согласно известным уравнениям
:
Рк Щк > (8)
КВАНТОВАНИЕ КАК ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
683
из которых следует, что из каждой частной функции действия можно получить
ряд путей движения системы, подобно тому как ток получается из своего
потенциала скоростей *). (Импульсы рк образуют, попросту говоря, ковари-
антный вектор скорости, причем из формулы (8) следует, что этот вектор
равен градиенту от функции действия.)
Хотя в предыдущих рассуждениях говорится о волновых поверхностях,
скорости распространения и принципе Гюйгенса, по существу рассматривается
аналогия не между механикой и волновой оптикой, а аналогия между
механикой и геометрической оптикой. Дело в том, что понятие луча, с
которым главным образом связывается механика, является в основном
понятием геометрической оптики и только в геометрической оптике имеет
строгий смысл. Принцип Ферма также может быть истолкован в рамках
геометрической оптики с использованием понятия о показателе преломления.
Кроме того, система W-поверхностей, рассматриваемых как волновые
поверхности, значительно слабее связана с механическим движением,
поскольку изображающая механическую систему точка распространяется по
лучу не с волновой скоростью и, а со скоростью, пропорциональной (при
постоянном значении Е)
у. Из формулы (3) сразу получается для этой скорости значение
" = ^=pT=V'2(?-V) . (9)
Приведенное утверждение очевидно. Во-первых, из уравнений (8) следует,
что скорость системы тем больше, чем больше grad W, т. е. больше там, где
W-понерхпости сближаются, или, что то же самое, где мало значение п. Во-
вторых, величина W представляет собой, по определению, интеграл по
времени от функции Лагранжа, вследствие чего эта величина изменяется во
время движения (за время dt на (Т - V) dt), так что мы не можем все время
сопоставлять точке, изображающей систему, одни и те же W-поверхности.
Вообще не имеется механических параллелей для таких важнейших понятий
волновой теории, как амплитуда, длина волны, частота, т. е. вообще для
понятий, характеризующих форму волны; ничего нельзя сказать о самой
волновой функции, лишь функции W можно придать для воли смысл фазы,
весьма, впрочем, условно из-за неопределенности формы волны.
Если рассматривать весь приведенный параллелизм понятий только как
любопытный наглядный способ выражения, то отсутствие полной аналогии не
приводит к каким-либо затруднениям и стремление к последовательному
проведению этого параллелизма не имеет смысла. Аналогия сохранялась бы в
данном случае лишь с геометрической, или, самое большее, с весьма
упрощенной волновой оптикой. Не изменяет положения вещей и то
обстоятельство, что в случае света геометрическая оптика представляет
лишь весьма грубое приближение. При попытке последовательного построения
оптики в ^-пространстве следовало бы, таким образом, для сохранения
параллелизма заботиться о том**), чтобы не очень отклониться от
Предыдущая << 1 .. 309 310 311 312 313 314 < 315 > 316 317 318 319 320 321 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed