Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
Статистическая механика). Тогда значение функции у> должно придавать
"интегралу Гамильтона"
JV {к'г(9) g') + v-=r} (23)
стационарное значение при дополнительном нормирующем условии
J у2 <fr - 1 . (24)
Собственные .ишчепня этой вариационной проблемы, яоляющнеся, как
известно, также стационарными значениями интеграла (23), и дают согласно
нашим предположениям квантовые уровни энергии.
Относительно формулы (14") следует еще заметить, что величина аг в
основном сов-
В -
падает с известным выражением Зоммерфельда - ¦ - - + УС (ср. "Atombati",
4 Aufl.,
I'А
стр. 775).
Цюрих, Физический институт университета (поступило 27 января 1926 г.).
Э. ШРЕДИНГЕР
КВАНТОВАНИЕ КАК ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ [227 ] (Второе
сообщение)*)
§ 1. Аналогия Гамильтона между механикой и оптикой
Прежде чем заниматься решением квантовой задачи о собственных значениях
для новых конкретных систем, мы подробнее осветим общую связь между
дифференциальным уравнением Гамильтона (у. Г.) некоторой механической
проблемы и "соответствующим" волновым уравнением, т. е. в рассмотренном
ранее частном случае связь кеплеровои задачи с "уравнением (5) первого
сообщения. Данная общая связь пока была лишь кратко выражена
аналитическим образом посредством неясного самого по себе преобразования
(2) и столь же неясного перехода от приравнивания нулю некоторого
выражения к требованию того, чтобы пространственный интеграл от этого же
выражения был стационарным**).
Внутренняя связь между теорией Гамильтона и волновыми процессами давно
известна. Эта связь была ясна уже самому Гамильтону, она даже лежала в
основе его теоретической механики, которую он строил, исходя из оптики
неоднородных сред***). Вариационный принцип Гамильтона может
рассматриваться как принцип Ферма для распространения волн в
конфигурационном пространстве (^-пространстве); при этом у. Г. выражает
здесь принцип Гюйгенса для данных ноли. В большинстве современных
изложений эти глубокие идеи Г амильтона теряют, к сожалению, свой яркий
наглядный вид и сводятся к значительно более бесцветным аналитическим
соотношениям ****).
*) См. журнал Ann. d. Phys., 1926, 79, стр. 361. Для понимания данной
работы предварительное чтение первого сообщения не является необходимым.
**) В этой статье мы в дальнейшем не будем придерживаться данного способа
вычислений. Он должен служить лишь для предварительной ориентировки при
установлении внешней связи волнового уравнения с у. Г. Функция у> в
действительности не находится в таком соотношении с функцией действия
рассматриваемого движения, как это следует нз формулы (2) первого
сообщения. Напротив, связь между волновым уравнением и вариационной
задачей очень проста: подынтегральное выражение стационарного интеграла
представляет собой функцию Лагранжа волнового процесса.
***)Ср., например, Уиттекер, Аналитическая динамика, Deutsche Ausgabe bei
Springer, 1924, т. II, стр. 306 и сл.
***¦) ф_ Кленн излагает с лета 1891 г. в своих лекциях по механике теорию
Якоби, исходя из квазноптнческнх рассмотрений в неевклидовых
пространствах высшего числа измерений. Ср. F. Klein, Jahresber. d.
Deutsch. Math, Ver. 1,1891 и Zs. f. Math. u. Phys. 46, 1901. (Собр. соч.,
т. II, стр. 601 н 603.) Во второй заметке Клейн с некоторой укоризной
отмечает, что его доклад, сделанный десять лет назад перед собранием
естествоиспытателей в Галле, в котором была изложена указанная связь и
было подчеркнуто большое значение оптических работ Гамильтона, "не
встретил внимания, которого я ожидал". Я благодарен проф. Зоммерфельду за
дружеское письменное указание на соображения Ф. Клейна. См. "Atombam,
нзд. 4, стр. 803.
680
Э. ШРЕДИНГЕР
Рассмотрим общую задачу классической механики консервативной сустемы; у.
Г. будет в этом случае иметь вид
QW , ( dW Л , ... ч
где W -функция действия, т. е. интеграл по времени от функции Лагранжа 7
- V, взятый по некоторому пути движения системы и рассматриваемый как
функция конечного положения и времени.
Символы qk обозначают координаты; величина 7, являющаяся кинетической
энергией, представляет собой функцию координат и импульсов (квадратичную
форму относительно последних); импульсы, согласно известным правилам,
заменены в уравнении (1) на соответствующие частные производные-!^ '
величина V соответствует потенциальной энергии. При решении уравнения (1)
делается подстановка
W=-Et + S(qk), (2)
после чего уравнение (1) переходит в уравнение
2T(9k,^] = 2(E-V). (Г)
Буквой Е обозначена первая произвольная константа интегрирования,
являющаяся, как известно, энергией системы. Мы сохранили в уравнении (1')
функцию W, не заменив ее, как делается обычно, на не зависящую от времени
функцию 5. Это, однако, несущественно.
Согласно Герцу смысл уравнения (Г) можно выразить очень просто и
наглядно, если рассмотреть конфигурационное пространство (пространство
переменных qk) с введенной в него с помощью кинетической энергии системы
неевклидовой метрикой [228 ]. Пусть Т - кинетическая энергия,
