Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
нарушения условия
(13). Третьей, удовлетворяющей нашим требованиям, граничной точкой
является отрицательная бесконечность. Формула (12) при любом из путей
интегрирования между двумя из этих трех точек даст решение уравнения,
причем среди этих решений только два будут линейно независимыми, как это
можно легко проверить, вычислив соответствующие интегралы в замкнутой
форме. В частности, целое трансцендентное решение может быть получено при
интегрировании от q до с2. Без каких-либо вычислений ясно, что этот
интеграл остается регулярным при г - 0. Я это подчеркиваю в связи с тем
43 Вариационные принципы механики
674
Э. ШРЕДИНГЕР
что фактическое вычисление интеграла в данном случае только усложняет
рассмотрение. Наоборот, для выяснения поведения интеграла при стремящихся
к бесконечности значениях г удобно провести интегрирование; при этом
оказывается, что ограниченным при г-> оо остается лишь тот из двух
линейно независимых интегралов, который при г = О равен бесконечности.
Таким образом, при I п задача не имеет решения.
б) I > п. Тогда согласно формуле (14"') точка сг будет нулем, а точка
с2 полюсом по меньшей мере первого порядка для подынтегрального
выражения. Два независимых решения могут быть получены здесь следующим
образом : в одном случае используется путь интегрирования L, идущий из
точки z = - оо к нулю ради предосторожности с обходом полюса ; другой
путь оканчивается в полюсе. Последний путь приводит к целому
трансцендентному решению, умноженному на г", значение которого мы
выписываем, не приводя вычислений (напоминаем при этом, что умножение U
на г" возвращает нас к функции у):
Это решение является пригодным, поскольку оно остается ограниченным при
всех действительных положительных значениях г. Благодаря тому, что оно
экспоненциально исчезает в бесконечности, выполняется также условие (6).
Объединим результаты, полученные для отрицательных значений Е следующим
образом.
При отрицательных Е наша вариационная задача имеет решения тогда и только
тогда, когда значение Е удовлетворяет условию (15). При этом целое число
п, соответствующее номеру используемой в решении шаровой функции, должно
принимать значения, меньшие, чем I, что может быть всегда выполнено, по
крайней мере, одним способом. Входяшая в решение функция, зависящая от г,
определяется при этом уравнением (18).
Подсчет числа постоянных в шаровой функции покгзывает, что найденное
решение содержит при допустимых комбинациях (л, I) ровно 2п + 1
произвольных постоянных; при заданном значении I число произвольных
постоянных равно, таким образом, I2.
Мы тем самым в основном подтвердили выставленные в начале статьи
утверждения о свойствах спектра собственных значений нашей вариационной
задачи, но доказательство еще нельзя считать полным.
Нужно, во-первых, еще показать полноту всей использованной системы
собственных функций. Этим вопросом в данной статье я заниматься не буду.
Согласно другим исследованиям можно предположить, что мы не пропустили
какого-либо собственного значения.
Во-вторых, следует здесь напомнить, что использованные для положительных
значений Е собственные функции не являются действительными решениями
поставленной нами вначале проблемы, поскольку при г->оо
1 0Ш In
значение у стремится к нулю лишь как -, а значение -д~ как -а .
Поверхностный интеграл (6) будет поэтому в бесконечности иметь порядок
&у. Если желательно строго получить непрерывный спектр, то при постановке
задачи нужно добавить то условие, что значение dip в бесконечности равно
нулю или, по крайней мере, стремится к постоянной величине, не зависящей
от направлении, по которому происходит стремление к бесконечности; в
последнем случае поверхностный интеграл (6) обратится в нуль из-за
свойств входящих в решение шаровых функций.
КВАНТОВАНИЕ КАК ЗАДАЧА О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
675
§ 2. Из условия (15) следует, что
-Я/=2**Г <19>
Таким образом, мы получаем известные уровни энергии Бора, соответствующие
бальмеровым термам, если положим введенную по соображениям размерности
величину
К - 2"я . (20)
Тогда будет иметь место соотношение
с 2 я* те /тп
- hi - -jj-p- . (1У)
Здесь I является главным квантовым числом п + 1 аналогично азимутальному
квантовому числу ; при более подробном определении шаровых функций мы
сможем расщепить это число па величины, сопоставленные ("экваториальному"
и соответственно "полярному" кванту. Эти величины характеризуют здесь
систему узловых линий на сфере. "Радиальное квантовое число ) - п - 1
определяет в свою очередь число "узловых сфер", так как нетрудно
убедиться, что функция /(х) в (18) имеет ровно I - п - 1 положительных
действительных корней. Положительные значения Е соответствуют континууму
гиперболических траекторий, которым можно, в известном смысле,
сопоставить значение радиального квантового числа, равное оо.
С этим
согласуется поведение решения при Е > 0, которое, как мы
видели, стре-
мится к бесконечности, непрерывно осциллируя.
