Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
где' в - азимутальный угол, выбранный как координата q Лагранжа, а рв -
соответствующий импульс.
Чтобы распространить этот вывод на случай большого числа степеней
свободы, Зоммерфельд и Уильсон показали, что можно выбрать такие
координаты qh для которых условия квантования орбит будут
ф pi dqt = щ h (щ - целые числа).
ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ КВАНТОВ
663
Знак § показывает, что интеграл распространен на всю область изменения
координат.
В 1917 г. Эйнштейн дал условие квантования в инвариантной форме по
отношению к изменению координат*). Мы дадим его для случая замкнутых
орбит ; оно будет в этом случае иметь вид
з
ф 2 Pi dqt - nh (п - целое число),
где интеграл распространен на всю длину траектории. Мы узнаем интеграл
действия Мопертюи, который имеет большое значение в теории квантов. К
тому же этот интеграл не зависит от выбора координат пространства
благодаря известному свойству, выражающему ковариантный характер
компонентов Pi вектора импульса. При помощи классического метода Якоби
этот интеграл определяется как полный интеграл уравнения в частных
производных
tfg-, ?,) = W (/=1, 2, ..., /),
содержащий / произвольных констант, одна из которых - энергия W. Если
имеется только одна степень свободы, то соотношение Эйнштейна фиксирует
энергию W ; если число степеней свободы больше единицы (в наиболее важном
случае движения электрона во внутриатомном поле имеются a priori три
степени свободы), то получается только одно соотношение между W и целым
числом п, а именно, для эллипсов Кеплера, если пренебречь изменением
массы при изменении скорости. Но если движение квазипериодично, что,
кстати говоря, имеет место благодаря изменению, о котором говорилось
выше, то можно найти координаты, которые колеблются в определенных
пределах (либрации), и существует бесконечное число псевдопериодов,
приблизительно равных целым кратным периодов либраций. В конце каждого из
этих псевдопериодов движущееся тело возвращается в состояние, произвольно
близкое к начальному состоянию. Уравнение Эйнштейна, примененное к
каждому из этих псевдопериодов, приводит к бесконечности условий, которые
совместимы только в том случае, если выполняются условия Зоммерфельда ;
так как число последних равно числу степеней свободы, все константы
оказываются фиксированными и не остается никакой неопределенности.
Чтобы рассчитать интегралы Зоммерфельда, можно с успехом воспользоваться
уравнением Якоби и теоремой вычетов, а также понятием угловых переменных.
За последние годы эти вопросы были предметом многочисленных работ,
изложенных в прекрасной книге Зоммерфельда "Atombau und Spectrallinien"
(франц. издание, перевод Bellenot, Изд-во Blanchard, 1923 г.). Мы не
будем здесь заниматься зтими вопросами, а ограничимся замечанием, что, в
конце концов, проблема квантования в принципе полностью сводится к
условию Эйнштейна для замкнутых орбит. Если нам удастся объяснить это
условие, то тем самым мы выясним вопрос об устойчивых траекториях.
II. Интерпретация условия Эйнштейна
Понятие фазовой волны дает нам возможность объяснить условие Эйнштейна.
Из рассуждений второй главы следует, что траектория движущегося тела
является одним из лучей его фазовой волны; последняя должна про-
*) Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein (Ber. der deutschen. Phys.
Ges., 1917, стр. 82).
664
Л. ДЕ БРОЙЛЬ
бегать вдоль траектории с постоянной частотой (потому что полная энергия
постоянна) и с переменной скоростью, значение которой мы научились
вычислять. Распространение, таким образом, аналогично распространению
волны жидкости в замкнутом канале с переменной глубиной. С физической
точки зрения очевидно, что для того, чтобы получить стабильный режим,
длина канала должна находиться в резонансе с волной; иначе говоря,
участки волны, следующие одна за другой на расстоянии, равном целому
кратному длины I канала и потому находящиеся в одной и той же точке
последнего, должны совпадать по фазе. Условие резонанса будет I = n l,
если длина волны постоянна и ф ~ dl = п (целое) в общем случае.
Появляющийся здесь интеграл есть интеграл принципа Ферма; мы показали,
что его следует считать равным интегралу действия Мопертюи, деленному на
h. Условие резонанса идентично, таким образом, условию устойчивости,
требуемому теорией квантов.
Этот прекрасный результат, являющийся непосредственным следствием идей,
высказанных в предыдущей главе, служит наилучшим оправданием нашего
способа рассмотрения проблемы квантов.
В частном случае круговых орбит в атоме Бора имеем m0j> v dl=2nRmav=nh, а
так как v = ю R, где ю - угловая скорость, то
Это и есть простая форма, впервые рассмотренная Бором.
Таким образом, мы видим, почему некоторые орбиты устойчивы, но не знаем
еще, каким образом происходит переход от одной устойчивой орбиты к
другой. Характер возмущения, сопровождающего этот переход, может быть
изучен только с помощью соответствующим образом измененной
электромагнитной теории, а такой теорией мы пока не владеем.
