Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
<5 J 2 Pi dq' = 0 ,
A i
где А и В - две точки пространства, соответствующие системе отсчета,
применяемой в точках Р и Q пространства-времени.
Величины рь р2, pg, равные частным производным функции L по
соответствующим скоростям, могут помочь определить вектор р, который мы
назовем вектором импульса. Если нет магнитного поля (независимо от того,
есть ли электрическое поле), то прямолинейные компоненты этого вектора
будут:
_ т0Ух _ ТПдУу __ ТПдУг
V1 - /?т ' ТГ-J2 ' У\ - р2
Таким образом, этот вектор тождествен количеству движения, и интеграл
действия Мопертюи представляется в простой форме, предложенной самим
Мопертюи, с той только разницей, что масса изменяется теперь с изменением
скорости по закону Лоренца.
Если есть магнитное поле, то для компонентов вектора импульса находят
выражения:
^тг?г + еах' p^w^+ea>' pz = + e"z¦
Теперь уже нет тождества между вектором р и количеством движения; из
этого следует, что выражение для интеграла действия становится более
сложным.
Рассмотрим помещенное в поле движущееся тело, полная энергия которого
задана в каждой точке поля, доступной движущемуся телу; скорость
последнего определяется уравнением энергии, но a priori направление его
движения может быть любым. Выражения для рх, ру и р2 показывают, что
вектор импульса имеет одну и ту же величину в любой точке
электростатического поля независимо от рассматриваемого направления. Это,
однако, не так при существовании магнитного поля: величина вектора р
зависит при этом от угла между выбранным направлением и вектор-
потенциалом, как это следует из выражения р\ + р% + р\. Это замечание нам
понадобится в дальнейшем.
Чтобы закончить этот параграф, вернемся к физическому смыслу мирового
вектора J, от которого зависит интеграл Гамильтона. Мы выразили его как
Ji = Щс и, + eq>i (i = 1, 2, 3, 4),
ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ КВАНТОВ
657
С помощью значений ",• и <pt находим
г ~ г г г W
У1 - ~Рх > У г - Ру" Уз - Pz" J& - - . Контравариантные компоненты будут
Ух = Рх, у2 = ру, У3 = р2, У4=-^.
Таким образом, мы имеем дело со знаменитым вектором "мирового импульса",
который объединяет энергию и количество движения.
Из выражения
*Jy/<feS=o (1 = 1,2,3,4)
р
можно вывести (если у4 постоянно)
<5 #/,</*';= О (i = 1,2,3).
А
Это-наиболее лаконичная форма для перехода от одного способа изложения
стационарности действия к другому.
IV. Распространение волн. Принцип Ферма
Тем же методом, который применялся в двух предыдущих параграфах, мы
рассмотрим распространение фазы синусоидального колебания. Для этого мы
встанем на очень общую точку зрения и нам снова придется рассматривать
пространство-время.
Рассмотрим функцию sin <р, предположив, что дифференциал q> зависит от
переменных х' пространства и времени. В пространстве-времени имеется
бесконечное число мировых линий, вдоль которых функция <р постоянна.
Волновая теория в той форме, в которой она представлена в работах
Гюйгенса и Френеля, заставляет нас различать некоторые из этих линий,
проекции которых на пространство наблюдателя являются для него "лучами" в
обычном оптическом смысле.
Положим, как и раньше, что Р и Q - две точки пространства-времени. Если,
мировой луч пройдет через эти две точки, то какой закон будет опре-
Q
делять его форму? Рассмотрим криволинейный интеграл \ dip и определим
мировой луч в гамильтоновой форме р
Ь [ dcp = 0 .
р
Интеграл действительно должен быть стационарным, иначе совпадающие по
фазе возмущения, исходящие из некоторой точки пространства и после
пробега по нескольким различным путям пересекающиеся в другой точке,
окажутся различными по фазе.
Фаза ср инвариантна; таким образом, если мы положим
dip = 2п (С)г dx1 + 02 dx2 + 03 dx3 + 04 dx1) = 2лОt dx1,
то величины 0{, обычно являющиеся функциями х\ будут ковариантными
компонентами мирового вектора - вектора мировой волны. Если I - на-
42 Вариационные принципы механики
653
Л. ДЕ БРОЙЛЬ
правление луча в обычном смысле, то df, как правило, рассматривают в
форме
df = 2я {vdt -dlj, где v - частота, а V - скорость распространения. Тогда
можно положить
0i = - -f - cos (х, 0, 02 - -cos (у, О,
03 = - -у cos (г, /), 04 = -f.
Вектор мировой волны распадается, следовательно, на временную компоненту,
пропорциональную частоте, и пространственный вектор п длиной(tm),
ориентированный по направлению распространения. Мы назовем этот вектор
волновым числом потому, что он равен обратной величине длины волны. Если
частота v постоянна, то нужно перейти от гамильтоновой формы
6$0tdx' = 0
р
к форме Мопертюи
dfoidx1 + 02dx2 + Osdxa = 0, л
где А и В -• точки пространства, соответствующие Р и Q. Подставляя вместо
Ov 02 и 03 их значения, получаем
^ J ~V~ ~ о •
А
В таком виде принцип Мопертюи совпадает с принципом Ферма.
Как в предыдущем параграфе надо было знать распределение вектора р в
поле, чтобы найти проходящую через две определенные точки траекторию
движущегося тела с заданной полной энергией, так и здесь, чтобы найти луч
