Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
этого периода.
Из маленького треугольника BCD находим соотношение
св
DC
откуда
DC = (5 СВ = (52 АС.
Но AD = АС - DC = АС (1 - ?2).
Новый период Т будет, таким образом, равен
Т = --АС( 1-П • Tol'l ,
652
Л. ДЕ БРОЙЛЬ
а частота v волн будет
v = J_ = vo ____________ то С2.
Т Ъ - р2
Таким образом, мы получаем хорошее совпадение с результатами, найденными
аналитически в разделе I, но теперь можно видеть, как они связаны с общей
концепцией пространства-времени и почему смещение по фазе периодических
движений, происходящее в различных точках пространства, зависит от
способа определения одновременности в теории относительности.
Глава II ПРИНЦИП МОПЕРТЮИ И ПРИНЦИП ФЕРМА
I. Цель данной главы
В этой главе мы попытаемся обобщить результаты первой главы на случай
движущегося тела, движение которого непрямолинейно и неравномерно.
Переменное движение предполагает существование силового поля, которому
это движущееся тело подчинено. Современное состояние наших знаний
предполагает существование двух видов таких полей : поля тяготения и
электромагнитного поля. Общая теория относительности считает, что поле
тяготения является искривлением пространства-времени. В настоящей статье
мы будем систематически отбрасывать все касающееся тяготения, оставляя за
собой право вернуться к этому в другой работе. Таким образом, в настоящий
момент силовое поле будет для нас электромагнитным полем и динамика
переменного движения будет изучать движение тела, имеющего электрический
заряд в электромагнитном поле.
Нам придется встретиться в этой главе с достаточно большими трудностями,
потому что теория относительности - надежный путеводитель при
исследовании равномерных движений - еще не дает окончательного заключения
относительно неравномерных движений. Во время недавнего пребывания
Эйнштейна в Париже Пенлевэ выдвинул интересные возражения против теории
относительности ; Ланжевен легко сумел их отвести, так как все они
предполагали ускорения, в то время как преобразование Лоренца- Эйнштейна
применимо только к равномерному движению. Аргументы знаменитого
математика лишний раз доказали, что применение идей Эйнштейна становится
вопросом деликатным, как только дело касается ускорений, и в этом
отношении эти аргументы очень поучительны. Метод первой главы,
позволивший нам изучить фазовую волну, здесь абсолютно непригоден.
Фазовая волна, сопровождающая движение тела, при условии, конечно,
принятия наших представлений, имеет свойства, которые зависят от природы
этого движущегося тела; так, например, частота движущегося тела зависит
от полной энергии. Поэтому естественно будет предположить, что если
силовое поле воздействует на движение тела, то оно будет действовать
также и на распространение его фазовой волны. Руководствуясь идеей полной
идентичности принципа наименьшего действия и принципа Ферма, я был
вынужден с самого начала моих исследований в этой области принять, что
для заданного значения полной энергии движущегося тела и вследствие этого
для частоты его фазовой волны возможные динамические траектории
движущегося тела совпадают с возможными лучами фазовой волны. Это привело
меня к хорошему результату, который будет изложен в третьей главе, а
именно, к интерпретации установленных Бором условий внутриатомной
устойчивости. К сожалению, это потребовало довольно произволь-
ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ КВАНТОВ
653
ных гипотез о значении скоростей распространения V фазовой волны в каждой
точке поля. Здесь мы, наоборот, воспользуемся методом, который кажется
нам значительно более общим и более подходящим. С одной стороны, мы
исследуем механический принцип наименьшего действия в его классических
формах Гамильтона и Мопертюи и в релятивистской динамике, а с другой
стороны, с очень общей точки зрения, - распространение волн и принцип
Ферма. В этом случае нам придется представить себе некоторый синтез этих
двух исследований, синтез может быть спорный, но теоретическое изящество
его неоспоримо. Одновременно мы получим решение поставленной задачи.
II. Два принципа наименьшего действия в классической динамике
Принцип наименьшего действия в гамильтоновой форме выражается в
классической динамике следующим образом :
и "Динамические уравнения могут быть выведены из того, что интеграл j' L
dt, взятый в фиксированных пределах времени для начальных и конеч-
il
ных'значений, задаваемых параметрами qh определяющими состояние систе-мы,
имеет стационарное значение". По определению, L называют функцией
Лагранжа и предполагают, что она зависит от переменных q, и q, = ~j~ .
Таким образом, имеем
Известным методом вариационного исчисления отсюда выводятся так
называемые уравнения Лагранжа
&_ ( 9 L \ __ 9 L
dt { dqi J dqi '
число которых равно числу переменных qt.
Остается определить функцию L. Классическая динамика полагает функцию L
равной разности кинетической и потенциальной энергии:
Дальше мы увидим, что релятивистская динамика применяет другое выражение
