Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
мнимой), показывает, что эта волна не переносит энергии. Наша теорема
показывает, что эта волна представляет собой распределение
рассматриваемого периодического явления в фазовом пространстве; это - так
называемая "фазовая волна".
Для большей точности мы сделаем несколько грубое, но достаточно наглядное
сравнение с одним механическим явлением. Представим себе на
горизонтальной плоскости окружность очень большого радиуса ; на этой
плоскости подвешены идентичные системы, представляющие собой пружины с
грузом. Число таких систем, приходящихся на единицу поверхности, и их
плотность быстро уменьшаются по мере удаления от центра плоскости;
наибольшая концентрация их имеет место около центра. Все системы -
пружины с грузом - вполне идентичны и имеют один и тот же период;
предположим теперь, что они колеблются с одной и той же амплитудой и в
одной и той же фазе. Поверхность, проходящая через центры тяжестей этих
грузов, будет плоскостью, попеременно то поднимающейся, то опускающейся.
Мы получаем, таким образом, грубую аналогию с воображаемой нами порцией
изолированной энергии.
Именно так представляется описанное выше явление наблюдателю, связанному
с указанной плоскостью. Если другой наблюдатель видит, что плоскость
перемещается, причем скорость ее равномерного поступательного движения
рарна v = fie, то каждый груз будет ему представляться в виде маленьких
часов, подчиняющихся закону замедления Эйнштейна ; кроме того, плоскость
и распределение колебательных систем не будут более изотропны вокруг
центра вследствие сокращения Лоренца. Но самый важный факт для нас (как
будет лучше объяснено в третьем разделе), -это сдвиг фаз движений
различных грузов.
Если в какой-то момент времени неподвижный наблюдатель будет
рассматривать геометрическое место центров тяжести различных грузов, то
оно представится ему в виде цилиндрической поверхности, вертикальные
сечения которой являются синусоидами, параллельными скорости плоскости.
Эта поверхность соответствует в нашем случае фазовой волне; согласно
нашей общей теореме,, эта поверхность движется со скоростью ,
параллельной скорости плоскости, и частота колебаний точки фиксированной
абсциссы, покоящейся на ней постоянно, равна частоте собственных
колебаний пружин, умноженной на y=L=- . Из этого примера ясно видно
(и это служит оправданием его пространного изложения), что фазовая волна
соответствует переносу фазы, а не энергии.
Нам кажется, что изложенные результаты имеют чрезвычайно важное значение,
так как они устанавливают при помощи гипотезы, в сильной степени
внушенной представлениями о квантах, связь между движением тела и
распространием волны и предусматривают возможность объединения
антагонистических теорий о природе излучения. Мы уже знаем теперь, что
прямолинейное распространение фазовой волны связано с прямолинейным
движением тела; принцип Ферма, примененный к фазовой волне, определяет ее
лучи как прямые, в то время как принцип Мопертюи, примененный к
движущемуся телу, определяет его прямолинейную траекторию как один из
лучей волны. В главе II мы попытаемся обобщить это совпадение.
II. Скорость фазы и скорость группы
Мы должны теперь доказать существование важной связи между скоростью
движущегося тела и скоростью фазовой волны. Если волны с близкими
частотами распространяются в одном и том же направлении Ох со скоростями
V, которые мы назовем скоростями распространения фазы, то их суперпозиция
приведет к появлению биений в том случае, когда скорость
ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ КВАНТОВ
649
V изменяется с изменением частоты v. Эти явления были, в частности,
изучены лордом Рэлеем для случая дисперсионных сред.
Рассмотрим две волны с близкими частотами v и / = v + dv и скоростями
V и Vh = V + <5 v ; их суперпозиция может быть выражена аналитически
следующим уравнением, полученным при пренебрежении во втором члене
величиной dv по сравнению с v :
sin 2 л (w - + <р) + sin 2 л {V t - (tm) + у') =
= 2 sin 2 я: |v t V-^~ + у) CoS 2я:
^ ( V J dv ,
Tl"I-T7-T+^.
Мы получили, таким образом, результирующую синусоидальную волну,
амплитуда которой модулирована частотой dv, так как знак косинуса не
существен. Это - известный результат. Если обозначить скорость
распространения пульсаций или скорость группы волн через U, то
U dv
Вернемся к фазовым волнам. Примем, что скорость движущегося тела v = Рс,
где р не имеет определенного значения, но заключено в пределах между р и
р + dp ; частоты соответствующих волн находятся в небольшом интервале v,
v dv.
Мы устанавливаем теперь следующую теорему, которая нам в дальнейшем
понадобится: "Скорость группы фазовых волн равна скорости движущегося
тела". Действительно, эта скорость группы волн определяется только что
приведенной формулой, в которой V и v можно рассматривать как функции р,
поскольку
у = А т"с2
Можно написать
U =
h у i_?2
dv
Чр
или
V
"ill
dp
d
dv m0 с2 p 1 У I m0c 1 Vl - p* I m0 с 1____________
