Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
мало отличающимися частотами имеет <<групповую скорость" U, которая
недавно была изучена лордом Рэлеем и которая в обычной теории является
скоростью "распространения энергии". Эта групповая скорость •связана с
фазовой скоростью соотношением
1
(Л
U dv
1 тп с
Если частота v равна у===-, а величина v равна у, то мы получаем
соотношение U = (ic, так что можно сказать : скорость движущегося теш
является скоростью распространения энергии группы волн, обладающих при
¦тень мало отличающихся значениях /? частотами и скоростями у.
IV. Механика и геометрическая оптика
Попытка распространения предыдущих положений на случай переменной
скорости является, хотя и весьма трудной, но очень заманчивой задачей.
Если движущееся тело описывает в какой-либо среде кривую траекторию, то
мы говорим, что существует силовое поле; в каждой точке поля может быть
подсчитана потенциальная энергия и, проходя через эту точку, тело
обладает скоростью, которая определяется из условия постоянства значения
его полной энергии. По-видимому, естественно предположить, что фазовая
волна должна иметь в некоторой точке скорость и частоту, определяемые тем
значением, которое имем бы величина (5, если бы тело находилось в данной
точке. Распространяясь, фазовая волна обладает постоянной частотой v и
непрерывно изменяющейся скоростью v.
Быть может, какой-либо новый электромагнетизм даст нам законы данного
сложного распространения, однако окончательный результат ясен, по-
видимому, заранее. Именно, лучи фазовой волны совпадают с динамически
возможными траекториями. В самом деле, траектория лучей может быть здесь
подсчитана с помощью принципа Ферма так же, как в средах с переменной
дисперсией ; в данном случае принцип Ферма может быть .-записан следующим
образом (А - длина волны, ds-элемент траектории):
аГ.1* =3fj^ds = o.
J A J v J yi
ПОПЫТКА ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ СВЕТОВЫХ КВАНТОВ
635
По принципу наименьшего действия в форме Мопертюи динамическая
'траектория определяется уравнением
42 л2
с ds = 0.
dfm0c2 (-7=L=._yi - ^)dt-=d[^E?rdt^d[-^di
J 0 IVi-^2 j J Vl -/9" J Vi-p
.Данный результат оправдывает приведенное выше утверждение.
После этого настолько просто показать выполнимость теоремы о фазовом
соответствии, что дальнейшие детали доказательства приводить, по-
видимому, не требуется.
Настоящая теория подсказывает интересное объяснение условий устойчивости
Бора. В момент времени / = О электрон находится в точке А своей
траектории. Исходящая в этот момент из точки А фазовая волна опишет всю
траекторию и вновь встретится с электроном в точке А'. Очевидно,
необходимо, чтобы при встрече с электроном данная волна находилась с ним
в одной фазе. Это можно выразить так: "Движение может быть устойчивым
лишь в том случае, если длина фазовой волны соизмерима с длиной
траектории". Условием соизмеримости в этом случае будет соотношение :
т
ds (' m0 /З2 с2
ЯМ
л У1 - /з2
dt - п
о
in - целое число ; Т - период вращения).
Мы можем в квантовой теории записывать условия устойчивости в введенной
Эйнштейном общей форме, которая в квазипериодических случаях вследствие
существования бесконечного количества псевдопериодов вырождается в
условия Зоммерфельда. Обозначим импульсы через рх, ру, рг; тогда ¦общее
условие Эйнштейна примет вид J (рх dx + pv dy + pz dz) = nh (n - целое
число) или, иначе,
г г
+ v% + v%)dt = Г^===- ft2с2dt = nh ,
J y ' J >i-d2
о 0
что в точности совпадает с полученным ранее результатом.
V. Распространение световых квантов и проблема когерентности
Используем теперь наши результаты для изучения того, как распространяются
свободные световые кванты, скорость которых по величине всегда лишь
ненамного меньше, чем с. Мы можем сказать : атом света с полной энергией,
равной hv, является областью внутреннего периодического явления,
протекающего с точки зрения неподвижного наблюдателя всюду, в одной фазе
с волной, распространяющейся по тому же направлению, что и атом света со
скоростью, почти совпадающей со скоростью света с (немного большей).
Световой квант является до известной степени частью этой волны ; для
объяснения интерференции и других явлений волновой оптики нужно, однако,
еще понять, каким образом частью одной и той же волны может быть
несколько световых квантов. В этом заключается проблема когерентности.
В теории световых квантов приходится, по-видимому, ввести следующую
гипотезу: Возбужденный атом при встрече с фазовой волной приобретает
определенную вероятность испустить световой квант; эта вероятность
зависит везде от интенсивности указанной волны. Возможно, что эта
гипотеза
636
Л. ДЕ БРОЙЛЬ
покажется произвольной, но я все же считаю, что любая теория
когерентности должна принять какой-нибудь постулат такого рода.
Как известно, испускание радиоактивными веществами у-лучей является
полностью самопроизвольным, тем не менее это обстоятельство не может
рассматриваться как возражение против нашего взгляда, так как "среднее
