Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
относительностью" (первая статья Клейна, Gottingen Nachr., 1917, ответ,
первый абзац) и именно в обобщенной формулировке, с точки зрения теории
групп.
Пусть интеграл / допускает группу и пусть (c)"-какая-либо конечная группа,
возникшая из первой путем придания специального вида произвольным
функциям ; следовательно, (c)" является подгруппой (c)о^. Бесконечной группе
(c)оое тогда соответствуют зависимости (16), конечной группе (c)о -
соотношения дивергенций (13); обратно, из существования каких-либо
соотношений дивергенций вытекает инвариантность / по отношению к
некоторой конечной группе, которая в том и только в том случае совпадает
с (c)а, когда ди являются линейными комбинациями ди, получающихся из (c)о.
Следовательно, инвариантность по отношению к @" не может повести к каким-
либо соотношениям дивергенций, отличным от (13). Но так как из
существования зависимостей (16) следует инвариантность / по отношению к
бесконечно малым преобразованиям Ли и Лх группы (c)^ при любом виде р (х),
то отсюда, в частности, следует уже и инвариантность относительно
возникающих путем специализации вида функций бесконечно малых
преобразований группы (c)", а следовательно, и по отношению к самой группе
(c)". Соотношения дивергенций
y>i ЩХ) = Div ВЛ
должны быть следствиями зависимостей (16), которые можно записать и так:
= Div %(Л),
*) В случаях, в которых уже из инвариантности выражения
]' (- щ дщ) dx
вытекает существование первых интегралов, последние не допускают полную
группу ; например, в случае, если
J (и" ди) dx
допускает бесконечно малое преобразование Лх = ег, Ли - ег + хе3, в то
время как первый интеграл
и - и' х = const,
соответствующий Ах = 0, А и = хе3, не допускает оба других бесконечно
малых преобразования, так как он содержит в явной форме как и, так и х.
Этому первому интегралу как раз соответствуют бесконечно малые
преобразования Для /, содержащие производные. Таким образом, можно
видеть, что инвариантность интеграла
j' • ¦ • j (y>i dUi) dx
во всяком случае дает меньше, чем инвариантность /, что и следует
отметить по поводу вопроса, поставленного в предыдущем замечании.
40*
628
ЭММИ НЕТЕР
где %(я) суть линейные комбинации выражений Лагранжа и их производных.
Так как ip входят линейно как в (13), так и в (16), то, в частности,
соотношения дивергенций должны быть линейными комбинациями зависимостей
(16); таким образом, получается
Div Ва) = Div (2! а Х(х)) >
и сами В<Я) выражаются линейно через %, т. е. через выражения Лагранжа
вместе с их производными и через функции, дивергенция которых
тождественно исчезает, например, хотя бы такие, как В - Г (конец § 2),
для которых Div (В - Г) = 0 и где дивергенция одновременно обладает
свойством инвариантности. Соотношения для дивергенций, в которых Bw
составляются заданным образом из выражений Лагранжа и их производных, я
буду называть "несобственными", все остальные - "собственными".
Обратно, если соотношения для дивергенций являются линейными комбинациями
зависимостей (16), т. е. они - "несобственные", то из инвариантности по
отношению к следует инвариантность по- отношению к (c)" ; (c)о становится
подгруппой группы &ж<1. Соотношения дивергенций, соответствующие
некоторой конечной группе тогда и только тогда являются несобственными,
когда группа 0&а есть подгруппа некоторой бесконечной группы, по
отношению к которой инвариантен интеграл I.
Путем специализации групп отсюда получается первоначальное утверждение
Гильберта. Под "группой смещения" мы будем понимать конечную группу
У/ = *" + е; > v, (у) = ц, (х),
следовательно,
Ах,- = , Aut = 0, Ъщ = - JZ ея.
Инвариантность по отношению к группе смещения означает, очевидно, что в
интеграле
/ = j\..j7(x,u,^-,...)dx
х не входят явно в /. Соответствующие п соотношений дивергенций
= (А = 1,2 ,...,п)
мы назовем "соотношениями энергии", так как соответствующие вариационной
задаче "законы сохранения"
Div Bih = О
соответствуют "законам энергии", а В^-"компонентам энергии". Итак,
справедливо следующее положение : Если I допускает группу смещения, то
соотношения энергии в том и только в том случае будут несобственными,
когда интеграл 1 инвариантен по отношению к бесконечной группе, которая
включает в качестве подгруппы группу смещения*).
Примером таких бесконечных групп служит группа всех преобразований для х
и таких вытекающих из них преобразований для и (х), в которые входят
только производные произвольных функций р(х); группа смещения полу-
*) Законы энергии классической механики, а также старой "теории
относительности" (в которой преобразуется в самое себя) являются
"собственными", так как здесь нет никаких бесконечных групп.
ИНВАРИАНТНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
629'
чается путем специализации p(i>(x) - е,-; однако должен остаться открытым
вопрос, даны ли этим - с присоединением групп, возникающих в результате
прибавления к / интеграла по границе, - наиболее общие из этих групп.
Индуцированные преобразования данного вида возникают, когда величины и
