Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
определены так, чтобы они соответствовали подобной группе бесконечно
малых преобразований относительно у, v. Если обозначить через %q -
преобразование, которое переводит х и и в у и v, через %р - бесконечно
малое преобразование, преобразующее х и и в самих себя, то подобное ему
преобразование дается формулой
где, следовательно, параметры или соответственно произвольные функции ?
определяются при помощи ряд. Формулами это выражается так :
? = х-Мх(х, р), и* = и + Ли(х, и, р),
%q: у = A(x,q), v =B(x,u,q),
п = А(х + Ax{x,p),q), v* = В (х + Лх (р), и+Аи(р),д).
Но отсюда получается
следовательно,
-ц = у -f Ay (г), v* = v + Av(r),
причем вследствие обращения, рассматриваются как функции у и принимаются
в расчет только бесконечно малые члены, так что имеет место тождество
У = У + Ау(г) = у+2-^ъг*-Ах(р), )
} (20)
V* = V + Av (г) = V + 2 Ах (р) + 2 - э^- Аи (Р) • )
Если здесь вместо ? = х + Ах поставить ? -А?, благодаря чему ? снова
переходит в х, а следовательно, Ах исчезает, то по первой из формул (20)
р также переходит в у = р -Ар; если при помощи этой подстановки Аи(р)
ниям Лагранжа; то же самое будет, если допустить производные от и; в этом
случае dv становятся линейными комбинациями из ди, д U ., а
следовательно, приводят
ОХ
к тождеству
J ... ...))dx = 0
только после нового преобразования с дивергенциями ; таким образом,
справа опять не появляются выражения Лагранжа.
Вопрос о том, можно ли вывести заключение о существовании соотношений
дивергенций уже из инвариантности интеграла
j ... j (V y,i dut) dx
после обращения, равнозначен вопросу о том, можно ли отсюда сделать
заключение об инвариантности / по отношению к группе, которая ведет не
обязательно к тем же Ли, Ах, но, конечно, к прежнему ди. В специальном
случае простого интеграла и наличия лишь первых производных в выражении
для / можно в случае конечной группы из инвариантности выражений Лагранжа
прийти к существованию первых интегралов (ср., например, Engel, Gotting.
Nachr., 1916, стр. 270).
40 Вариационные принципы механики
626
ЭММИ НЕТЕР
переводится в 6 и (р), то также и Av (г) переходит в dv (г), и вторая из
формул (20) дает:
v + dv(u,v, ...,r) = v + ^ ~8и ^ ?
- ЯД
<5 v(y, v, , г) = У/-ш~Ьих(х,и,р),
так что действительно удовлетворяются формулы преобразования для
вариаций, коль скоро только dv предполагается зависящим от параметров или
соответственно от произвольных функций г*).
Отсюда следует, в частности, относительная инвариантность выражения 2 fj
duh а также (учитывая (12) и то, что соотношения для дивергенций
выполняются также и для у, г") относительная инвариантность величины Div
В ; далее, на основании (14) и (13), относительная инвариантность Div Г и
связанных с р<;) левых сторон зависимостей, где всегда в преобразованных
формулах следует заменять произвольные р(х) (соответственно и параметры)
через г. Отсюда получается еще относительная инвариантность Div (В - Г),
т. е. дивергенции не исчезающей тождественно системы функций В - Г,
дивергенция которой, однако, тождественно равна нулю.
Из относительной инвариантности Div В в одномерном случае и для конечной
группы можно вывести еще заключение об инвариантности первых интегралов.
Параметрическое преобразование, соответствующее бесконечно малому
преобразованию, согласно (20) 'будет линейным и однородным и вследствие
обратимости всех преобразований е будут также выражаться линейно и
однородно через преобразованные параметры е*. Эта обратимость наверняка
сохраняется, если положить у - 0, ибо в формулы (20) не входят
производные от и.
Если приравнять коэффициенты при е* в уравнении
Div В (х, и, . .. , е) = DivB (у, v, ... , е*),
то функции
^в" (У. ",-¦)
также становятся линейными однородными функциями от так что из равенства
^ ?">(*, п, ...) = О
или
?<Л) (х, и, ...) = const
также следует
-~B'b(y,v, ...) = 0
или
?U) (У, V, ¦ ¦ •) = const.
Таким образом, q первых интегралов, которые соответствуют некоторой
группе &о, также допускают группу, так что упрощается и дальнейшее
*) Мы видим опять, что у следует брать независимым от и и т. д., чтобы
эти заключения были справедливы. В качестве примера можно назвать
указанные Клейном 8g^ и 8qer которые удовлетворяют преобразованиям для
вариаций, коль скоро р подвергаются векторному преобразованию.
ИНВАРИАНТНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
627
интегрирование. Простейшим примером этого может служить случай, когда
функция / свободна от х или от и, что соответствует бесконечно малому
преобразованию Лх = е, Ли = 0 или соответственно Лх - 0, Ли = е.
Тогда ди делается равным е , или соответственно е, а так как В выводится
из / и <5и путем дифференцирования и рациональных операций, то она,
следовательно, также свободна от х или соответственно от и и допускает
соответствующие группы*).
§ 6. Утверждение Гильберта
Наконец, из предыдущего получается еще доказательство утверждения
Гильберта о связи отказа от собственных законов энергии с "общей
