Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
поэтому между бесконечно малыми преобразованиями существовала бы
зависимость. Но по условию она не имеет места ни для какого значения
параметра, ибо иначе группа (c)", вновь получаемая посредством
интегрирования из бесконечно малых преобразований, зависела бы от
меньшего, чем q, числа существенных параметров. Другая же возможность 5и
- О, Div (/ • Лх) = 0 была исключена. Эти заключения сохраняют еще силу
также и в предельном случае бесконечно большого числа параметров.
Пусть теперь (c) - бесконечная непрерывная группа (r)"г; тогда опять 6и и ее
производные, а следовательно, и В будут линейными относительно
произвольных функций р(х) и их производных**); предположим, что путем
*) Соотношение (12) обращается в 0 = 0 для тривиального случая, который
может представиться только, если Лх, Ли зависят также от производных от
и, т. е. когда Div(/ • Лх) =0, <5и=0; эти бесконечно малые
преобразования, стало быть, всегда отщепляются от групп; при
формулировании теорем нужно учитывать только число остальных параметров
или произвольных функций. Вопрос о том, образуют ли остальные бесконечно
малые преобразования все еще группу, остается открытым.
**) Обращение показывает, что предположение о том, что р свободны от и, ,
... , не означает никакого ограничения.
ИНВАРИАНТНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧ
617
подстановки значений ди все еще независимо от (12) получается: 2 V>itoi =
2 v>i {^(Ч*. ц. • • -)рт (х) + W (х> ">•••) + • • •
Теперь на основании тождества
ср (х, и...) ЦР- = (- 1У -g- р (х) mod Div [*"]
можно аналогично формуле интегрирования по частям заменить производные от
р самими функциями р и дивергенциями, которые становятся линейными
относительно р и их производных; таким образом получается :
2V'l= 2{И>Vi)- i(b(P%)+¦¦¦+ (-'Y-gr(<^ЦPw + Divr
(14)
и в соединении с (12)
2 {W Л)--g"'v)+-+(-4|; № У,)) = Div (B - Г).
(15)
Теперь я образую п-кратный интеграл от (15), распространенный на какую-
либо область ; выбираю функции р(х) так, чтобы они исчезали на границе
вместе со всеми производными, входящими в (В - Г). Так как интеграл от
дивергенции сводится к интегралу, взятому по границе области, то исчезает
также и интеграл от левой части уравнения (15) для произвольных функций
р(х), подчиненных только одному условию, чтобы они исчезали вместе с
достаточным числом их производных на границе; отсюда известным путем
вытекает исчезновение подынтегрального выражения для каждой функции р(х),
а значит, имеют место р следующих соотношений:
2{("?>л) - ш + •••+(- 'Г-If MV-)} = 0 (Л = 1. 2...............г).
(ie>
Это - искомые зависимости между выражениями Лагранжа и их производными
при инвариантности интеграла I относительно ; линейная независимость
обнаруживается так же, как и выше, ибо обращение приводит обратно к
равенству (12), а от бесконечно малых преобразований можно делать
заключение обратно к конечным, как это будет подробнее развито в § 4.
Поэтому для (c)оое уже среди бесконечно малых преобразований всегда
появляются q произвольных преобразований. Из уравнений (15) и (16)
следует еще
Div;(B - г) = о.
Если в соответствии со "смешанной группой" предположить, что Ах и Аи
линейны относительно е и р(х), то можно видеть, полагая один раз все
р(х), а другой раз все е равными нулю, что в этом случае имеют место как
соотношения дивергенций (13), так и зависимости (16).
618
ЭММИ НЕТЕР
§ 3. Обращение в случае конечной группы
Чтобы показать обращение, просмотрим сначала в основном предшествующие
выводы в обратном порядке. Из существования соотношений (13) вытекает
после умножения на ей сложения справедливость равенства (12), а в силу
тождества (3) отсюда вытекает и соотношение
df + Div(A-B) = 0.
Значит, если положить
Ax = j(A-B),
то таким путем мы придем к равенству (11); отсюда, наконец, путем
интегрирования получаем равенство (7):
И/ = О,
т. е. инвариантность / по отношению к бесконечно малому преобразованию,
определяемому через И х, Ли, причем А и, в силу равенства (9),
определяются через Ах и ди, а Ах и А и становятся линейными относительно
параметров. Но равенство
AI = О
влечет за собой, как известно, инвариантность / по отношению к конечным
преобразованиям, которые получаются путем интегрирования системы
совместных уравнений:
dx А dui л , п) х' ~ У>
ЧГ = АХ'> чг = Аи' ПРИ* = °) Ц( = г). О7)
Эти конечные преобразования содержат q параметров ах,..., ав, а
именно
комбинации tev .. ., tee. Из предположения о том, что должно быть
q и
только q независимых соотношений дивергенций, следует, далее, что
конечные преобразования, поскольку они не содержат производных , всегда
образуют группу. В противном случае, по крайней мере, одно бесконечно
малое преобразование, образованное посредством скобочного процесса Ли
(Lie' schen Klammerprozess) [216 ], не было бы линейной комбинацией е
остальных, атак как I допускает и это преобразование, то существовало бы
больше чем q линейно независимых соотношений дивергенций или же это
