Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 278

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 272 273 274 275 276 277 < 278 > 279 280 281 282 283 284 .. 461 >> Следующая

Annalen.
ЭММИ НЕТЕР
ИНВАРИАНТНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ [213]
(Ф. Клейну, к пятидесятилетнему докторскому юбилею)
(Доложено Ф. Клейном в заседании от 26 июля 1918 г.*))
Речь идет о вариационных задачах, которые допускают непрерывную группу (в
смысле Ли); вытекающие отсюда следствия для соответствующих
дифференциальных уравнений находят свое наиболее общее выражение в
теоремах, которые формулируются в § 1 и доказываются в последующих
параграфах. Относительно этих дифференциальных уравнений, возникающих из
вариационных задач, возможны высказывания, значительно более точные,
нежели относительно любых допускающих группу дифференциальных уравнений,
которые являются предметом исследований Ли. Итак, последующее изложение
базируется на объединении методов формального вариационного исчисления с
методами теории групп Ли. Для специальных групп и для вариационных задач
это объединение методов не ново; я упомяну Гамеля и Герглоца (Herglotz),
занимавшихся специальными конечными группами, Лоренца и его учеников
(например, Фоккера), Вейля и Клейна, занимавшихся специальными
бесконечными группами **). Вторая статья Клейна и настоящая работа в
особенности взаимно повлияли друг на друга; в связи с этим я хотела бы
указать на заключительные замечания в статье Клейна.
§ 1. Предварительные замечания и формулировка теорем
Все функции, которые фигурируют в дальнейшем, предполагаются
аналитическими или, по крайней мере, непрерывными и конечными, а часто и
непрерывно дифференцируемыми и однозначными в рассматриваемой области.
Под "группой преобразований", как известно, понимают такую систему
преобразований, при которой каждому преобразованию соответствует обратное
преобразование, принадлежащее той же системе, и преобразование,
составленное из любых двух преобразований системы, принадлежит также
данной системе. Группа называется конечной непрерывной группой, если ее
преобразования все заключены в наиболее общем преобразовании, зависящем
аналитически от р существенных параметров р (т. е. эти р параметров не
могут быть представлены как р функций меньшего числа параметров).
*) Окончательная редакция рукописи была передана лишь в конце сентября.
**) Н а ш е 1, Math. Ann., т. 59 и Zs. f. Math, und Phys., т. 50;
Herglotz, Ann. d. Phys. (4), т. 36, в особенности § 9, стр. 511. F о k k
e r, Verslag. d. Amsterdam. Akad., 27 января 1917 г. По поводу дальнейшей
литературы см. вторую статью Клейна в Gottingen Nachrichten, 19 июля 1918
г.
В недавно опубликованной работе Кнезера (К n е s е г, Math. Zs., т. 2)
идет речь о составлении инвариантов схожим методом.
612
ЭММИ НЕТЕР
В соответствии с этим под бесконечной непрерывной группой &хв понимают
такую. группу, для которой наиболее общие преобразования зависят от р
существенных произвольных функций р (х) и их производных или
аналитически, или, по крайней мере, так, что эта зависимость выражается
непрерывными функциями, допускающими конечное число непрерывных
производных. Промежуточное положение занимает группа, зависящая от
бесконечно большого числа параметров, но не от произвольных функций.
Наконец, смешанной группой называют такую, которая зависит как от
произвольных функций, так и от параметров*).
Пусть хг, ... ,хп - независимые переменные, иг (х), ..., (х) - их
функции. Если подвергнуть х и ц преобразованиям некоторой группы, то
вследствие предполагаемой обратимости преобразований преобразованные
величины опять будут содержать в точности п независимых величин у1г...,
уп; остальные величины, зависящие от первых, мы обозначим через ^(у), ...
..., Vf, (у). В преобразованиях могут встречаться производные от и по х,
Т. е. ,... **). Некоторая функция называется инвариантом группы,
если существует соотношение
>(х и ) = р (v v )
I ' ' dx ' dx j r I/' V' дх ' Эха
В частности, интеграл I является инвариантом группы, если имеет место
соотношение
i=S...Sf(x>u,^,^,...)dx = s...<;f(y,v,-^r,^r,...)dy***)' (1)
где интегрирование распространяется на любую действительную область х и
на соответствующую область у****).
С другой стороны, для некоторого любого, необязательно инвариантного,
интеграла I я получаю первую вариацию 51 и преобразую ее по правилам
вариационного исчисления посредством интегрирования "по частям. Если
считать, что би исчезают на пределах вместе со всеми встречающимися
производными (вообще же они произвольны), то получаем
д1 = $ ... J<5/dx = J... j ...jtojdx, (2)
*) Ли определяет в "Основаниях теории бесконечных непрерывных групп
преобразований" ("Grunglagen fttr die Theorie der unendlichen
kontinuierlichenTransformationsgruppen", Ber. d. K. Sachs. Qes. der
Wissenschaften, 1891) (цитируется: "Основания") бесконечную непрерывную
группу как такую группу преобразований, преобразования которой даны
наиболее общими решениями системы дифференциальных уравнений в частных
производных, поскольку эти решения зависят не только от конечного числа
параметров. Таким путем получают один из вышеуказанных типов, отличных от
Предыдущая << 1 .. 272 273 274 275 276 277 < 278 > 279 280 281 282 283 284 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed